Решение системы методом Жордана-Гаусса.
Семестровая работа по дисциплине
«Математика»
Тема: Линейная алгебра.
Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Жордана-Гаусса.
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
16. 
| 17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
| 21. 
|
22. 
| 23. 
| 24. 
|
25. 
|
Тема: Комплексные числа.
Задача 2.Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах записи комплексного числа; 2) найти все корни уравнения 
.
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14.
| 15.
|
| 16.
| 17.
| 18.
|
| 19.
| 20.
| 21.
|
| 22.
| 23.
| 24.
|
| 25.
|
Тема: Векторная алгебра.
Задача 3.Коллинеарны ли векторы 
и 
, построенные по векторам 
и 
?
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32.
Задача 4. Найти косинус угла между векторами 
и 
.
1. 
| 9. 
| 17. 
| 25. 
|
2. 
| 10. 
| 18. 
| 26. 
|
3. 
| 11. 
| 19. 
| 27. 
|
4. 
| 12. 
| 20. 
| 28. 
|
5. 
| 13. 
| 21. 
| 29. 
|
6. 
| 14. 
| 22. 
| 30. 
|
7. 
| 15. 
| 23. 
| 31. 
|
8. 
| 16. 
| 24. 
| 32.
|
Задача 5.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
Задача 6.Компланарны ли векторы 
, 
и 
.
1. 
| 17. 
|
2. 
| 18. 
|
3. 
| 19. 
|
4. 
| 20. 
|
5. 
| 21. 
|
6. 
| 22. 
|
7. 
| 23. 
|
8. 
| 24. 
|
9. 
| 25. 
|
10. 
| 26. 
|
11. 
| 27. 
|
12. 
| 28. 
|
13. 
| 29. 
|
14. 
| 30. 
|
15. 
| 31. 
|
16. 
| 32.
|
Задача 7. Найти угол между плоскостями.
1. 
| 17. 
|
2. 
| 18. 
|
3. 
| 19. 
|
4. 
| 20. 
|
5. 
| 21. 
|
6. 
| 22. 
|
7. 
| 23. 
|
8. 
| 24. 
|
9. 
| 25. 
|
10. 
| 26. 
|
11. 
| 27. 
|
12. 
| 28. 
|
13. 
| 29. 
|
14. 
| 30. 
|
15. 
| 31. 
|
16. 
| 32.
|
Задача 8. Написать канонические уравнения прямой, заданной двумя плоскостями.
1. 
| 17. 
|
2. 
| 18. 
|
3. 
| 19. 
|
4. 
| 20. 
|
5. 
| 21. 
|
6. 
| 22. 
|
7. 
| 23. 
|
8. 
| 24. 
|
9. 
| 25. 
|
10. 
| 26. 
|
11. 
| 27. 
|
12. 
| 28. 
|
13. 
| 29. 
|
14. 
| 30. 
|
15. 
| 31. 
|
16. 
| 32.
|
Задача 9. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
1. 
| 17. 
|
2. 
| 18. 
|
3. 
| 19. 
|
4. 
| 20. 
|
5. 
| 21. 
|
6. 
| 22. 
|
7. 
| 23. 
|
8. 
| 24. 
|
9. 
| 25. 
|
10. 
| 26. 
|
11. 
| 27. 
|
12. 
| 28. 
|
13. 
| 29. 
|
14. 
| 30. 
|
15. 
| 31. 
|
16. 
| 32.
|
Тема: Функции одной переменной.
Задача 10.Вычислить пределы функций
Задача 11.Найти производные функций
Задача 12.Найти производную функции в точке х0.
1. 
| 17. 
|
2. 
| 18. 
|
3. 
| 19. 
|
4. 
| 20. 
|
5. 
| 21. 
|
6. 
| 22. 
|
7. 
| 23. 
|
8. 
| 24. 
|
9. 
| 25. 
|
10. 
| 26. 
|
11. 
| 27. 
|
12. 
| 28. 
|
13. 
| 29. 
|
14. 
| 30. 
|
15. 
| 31. 
|
16. 
| 32.
|
Задача 13.Провести полное исследование и построить графики функций.
Литература:
1. Шипачев В.С. Высшая математика: Учеб. для вузов / В.С. Шипачев. – 6-е изд.; стер.-М.:Высш.шк., 2003г. – 479 с: ил. ISBN 5-06-003959-5
2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. для вузов / В.С. Шипачев. – 5-е изд.; стер.-М.:Высш.шк., 2005г. – 304 с: ил. ISBN 5-06-003575-1
Бермант А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов. М., 1973 г ., 720с с илл.
3. Элементы линейной алгебры: методические указания / Сост. Л.Н. Феофанова; Волгоград. Гос.тех.ун-т. – Волгоград, 1999 г. - 56с
4. Методические указания к типовой работе по теме «Линейная алгебра» / Сост. Л.А. Исаева., В.Ф. Исаев; Волгоград.гос.тех.ун-т – Волгоград, 1996г. – 20 с
5. Элементы линейной алгебры: стандартные задачи с основными приложениями теории: учебное пособие. / Феофанова Л. Н., Исаева Л. А., Исаев В. Ф. / ВолгГТУ – Волгоград, 2009. – 88 с.
6. Начала аналитической геометрии : учеб. пособие / Симонова И. Э., Тарасова И. А., Симонов Б. В., Ермакова А. А.; ВолгГТУ. - Волгоград: ВолгГТУ, 2010. - 48 с. : 1 электрон. опт. диск (CD.R)
Примеры решения некоторых задач
Задача 1. Решить систему линейных уравнений методом Крамера, с помощью обратной матрицы и методом Жордана-Гаусса.
Решение:
Решение системы методом Крамера.
Найдем главный и вспомогательный определители системы:
Так как 
, то система имеет единственное решение:
Решение системы с помощью обратной матрицы.
Заданную систему запишем в матричной форме АХ=В, где
Матрица А системы неособенная, так как 
, значит, существует обратная матрица 
, где 
.
Вычислим алгебраические дополнения Aij:
Затем находим обратную матрицу 
Искомая матрица
Из условия равенства матриц 
получим решение данной системы уравнений:
Решение системы методом Жордана-Гаусса.
Выпишем расширенную матрицу и элементарными преобразованиями над строками приведем ее к диагональному виду:
Ответ: 
Задача 2.Дано комплексное число z. Требуется: 1) записать число z в алгебраической и тригонометрической формах; 2) найти все корни уравнения .
Решение:
1) Запись 
называется алгебраической формой комплексного числа, где х – вещественная часть, y – мнимая часть.
- алгебраическая форма.
Запись 
называется тригонометрической формой комплексного числа, где 
- называется модулем, а число 
- аргументом.
Следовательно, 
2) найдем все корни уравнения .
Обозначим 
, тогда
Таким образом 
.
При k=0:
,
При k=1:
,
При k=2 :
.
Задача 3.Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ?
Решение:
Найдем координаты векторов и .
Проверим условие коллинеарности векторов.
Так как условие выполняется, то векторы и коллинеарны.
Ответ:коллинеарны.
Задача 4. Найти косинус угла между векторами и .
Решение:
Найдем координаты векторов и .
Ответ:-1.
Задача 5.Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
Решение:
Ответ: 
.
Задача 6.Компланарны ли векторы 
, 
и 
.
Решение:
Вычислим смешанное произведение векторов , и .
Так как смешанное произведение векторов 
, то векторы , и компланарны.
Ответ:компланарны.
Задача 7. Найти угол между плоскостями.
Решение:
Нормальные векторы плоскостей имеют координаты: 
.
Угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. 
Ответ: 
.
Задача 8. Написать канонические уравнения прямой, заданной двумя плоскостями.
Решение:
Нормальные векторы плоскостей имеют координаты: 
.
Определим направляющий вектор прямой 
Найдем координаты точки М, принадлежащей прямой. Для этого решим систему уравнений
Положим 
, тогда система примет вид 
Вычитая из первого уравнения второе, получим 
Подставляя найденное x во второе уравнение, найдем y: 
Таким образом, точка М имеет координаты (-3, 0, 0).
Запишем канонические уравнения искомой прямой:
или 
Ответ: 
.
Задача 9. Найти точку пересечения прямой и плоскости.
Решение:
Так как точка принадлежит и прямой, и плоскости, то ее координаты можно найти, решив систему уравнений: 
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде и подставим в уравнение плоскости
Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты искомой точки:
Ответ: 
Задача 10.Найти производную функции в точке х0 :
Решение:
Ответ:0.
Задача 11.Найти производную функции: 
Решение:
Ответ: 
.
Задача 12.Найти производную функции: 
Решение:
Учитывая свойства логарифма: 
Ответ: 
.