Решение тренировочных заданий

Задача 1

Определить реакции связей балки, показанной на рисунке. В точке А балка имеет неподвижную шарнирную опору, в точке В – подвижную шарнирную опору на катках. На балку действует силы Р=5 кн; пара сил с моментом М = 2 кнм, равномерно распределена нагрузка интенсивностью q = 1 кн/м. Все действующие силы и размеры показаны на рисунке

Рис.4.1.

Решение

1. Объектом равновесия является балка АВ. На нее действует плоская система сил, поэтому выбираем плоскую систему отсчета, прямоугольные оси координат XAY.

2. На балку действуют: сосредоточенная сила Р., в точке, пара сил с моментом М, распределенная нагрузка на участке ДА= а_1. Заменим распределенную нагрузку равнодействующей сосредоточенной силой:

Q = q×a₁ =1Н

Эта сила приложена в середине участка ДА.

3. На балку наложены связи: в точке А шарнирно- неподвижная опора, в точке В- шарнирно- подвижная опора.

Отбрасываем связи и заменяем их реактивными силами. Реакция шарнирно- неподвижной опоры в точке А лежит в плоскости ^ оси шарнира (в плоскости чертежа), направление ее зависит от направления и величины активных сил, поэтому раскладываем ее на составляющие по координатным осям Ах и Ау –R_A- (Х_А, У_А). Реакция катковой опоры в точке В направлена

по нормалям к опорной поверхности. Силы, направленные под углом к осям координат, разложим на составляющие, параллельные осям:

Расчетная схема приведена на рис. 4.2.

Таким образом, балка находится под действием плоской системы сил.

 

 

Рис.4.2.

1. Для плоской системы сил можно составить три не зависимых уравнения равновесия, в задаче три неизвестных силы Х_А, У_А, R_B- задача статически определима.

2. Уравнения равновесия:

S Fix =0; X_A-Pcos 45°-R_Bsin30°=0

S Fiy =0; Y_A-Q –Psin45° +R_Bcos30°=0

SM_A(Fi) =0;

из уравнения (4.3):

из уравнения (4.1):

из уравнения (4.2):

Направление вектора R_A определим по направляющим косинусам:

Если в значении реактивной силы получаем знак “минус”, это значит, что реактивная сила направлена в сторону противоположную принятой по схеме.

 

Ответы: R_A = 5,87 кН, R_B = 2,85 кН

Задача 2

Определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорение точки М механизма, показанного на рисунке 4.3 в момент времени t =10. Груз 1 опускается по закону S=0,4(t³ +2t) м, R₁=0,1 м; R₂=0,15 м; R₃=0,3 м; R₄=0,6м.

Рис. 4.3

Решение

1. Скорость точки В нити (скорость точки В колеса) равна:

2. Угловая скорость ступенчатого колеса 2

3. Скорость точки А

4. Угловая сокрость колеса 3

5.Угловое ускорение колеса 3

3. Cкорость точки М

При t=2c: V_M=(6*2²-4)0,15=3 м/с

7.Нормальное ускорение точки М (рис. 44)

При t=2c;

8. Тангенциальное ускорение точки М

При t=2c:

9.Полное ускорение точки М

Рис. 4.4.

Ответы: V_М=15 м/с 0,*18 м/с²; =0,15 м/с²; 23,4 м/с²

Задача 3

В механической системе определить скорость груза 2, в момент времени, когда груз 1 переместится на величину S₁=1м, если m₁= 4кг, m₂=2кг, m₃=3кг, радиусы ступенчатого шкива R₃=20см, r₃=10см. Сила F, приложенная к грузу 1 изменяется по закону F=70 (1+S) (Н), коэффициент трения скольжения груза 1- f₁=0,12. Масса шкива равномерно распределена по его объему.

Дано: m₁=4 кг ; m₂=2 кг ; m₃=3 кг ; R₃=20 см ; r₃=10 см ; F=70 (1+S) (н);

f₁=0,12 ; S₁=1 м /

_________________________

Определить V₂

Рис. 4.5

Задача 4

Груз массой m, получив в точке А начальную скорость V₀, движется в изогнутой трубе АВС, расположенной в вертикальной плоскости. На участке АВ на груз кроме силы тяжести действуют сила и сила сопротивления среды . С достигнутой на участке АВ скоростью груз в точке В переходит на движение по участку ВС. На этом участке на груз кроме силы тяжести действует сила F, направленная по линии движения груза (ось X) и сила трения скольжения. Коэффициент трения f. Найти закон движения груза на участке ВС (рис. 4.6).

Рис.4.6

Дано: m=1,6 кг, V₀=18 м/с, Q=4 Н, R=0,4V Н,

t₁=2 с, f=0,2, F=4cos (4t) Н

Определить: закон движения на участке ВС, т.е. x=f(t)

Решение

1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая его материальной точкой. На груз действует: - сила тяжести, - реакция опоры, силы и .

Покажем действующие силы на схеме

Проведем ось АZ по направлению движения груза и составим дифференциальное уравнение в проекциях на эту ось.

Решим полученное дифференциальное уравнение методом разделения переменных, предварительно выполнив необходимые преобразования.

Для сокращения записи подставим числовые значения:

Разделим переменные и проинтегрируем:

Определим постоянную интегрирования С₁ по начальным условиям:

t = 0, V_Z0=18 м/с.

Подставим эти значения переменных в уравнение (2):

Уравнение (2) примет вид:

Преобразуем уравнение:

Из равенства логарифмов

Скорость в точке В, для которой t=2с, получим:

2. Рассмотрим движение груза на участке ВС. На груз действует сила: - сила тяжести, - сила трения, - реакция опоры и заданная сила .

Покажем действующие на тело силы на схеме, при этом учтем, что сила трения направлена противоположно движению тела.

Составим дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось X:

(3)

Определим силу трения:

Для определения силы N запишем дифференциальное уравнение движения груза в проекциях на ось Y .

Так как при движении тела вдоль оси X координата Y не изменяется (т.е. Y=const), то и, следовательно, .

Запишем это равенство в соответствии со схемой сил

N-P=0, откуда N=P=mg; F_тр=fmg.

Уравнение (3) примет вид

Разделим переменные и проинтегрируем:

Начальные условия для участка ВС: t=0, V_X=V_B=6,95 м/с.

Подставим начальные условия в уравнение 6,95=С₂

Учитывая, что и С₂=6,95, уравнение (4) примет вид:

Определяем С₃ из начальных условий: t=0, X₀=0

0=-0,156+С₃; С₃=0,156

Окончательно уравнение примет вид

Ответ: Закон движения груза на участке ВС

Задача 5

Даны уравнения движения точки в плоскости XY:

X= -2 cos , Y=2 sin

(X, Y- в см, t – в с).

Определить:

1) уравнение траектории точки;

2) скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории при t=1 с.

Решение:

Для определения уравнения траектории точки у=f(x) необходимо исключить из заданных уравнений движения время t. Поскольку t входит в аргументы тригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого, используем формулу:

cos 2α =1-2 sin²α или cos , (1)

Из уравнений движения находим выражения функций:

cos sin

Полученные значения функций подставляем в равенство (1).

Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки.

1. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси: vx= ;

X=(y+1)²+1

Рис.4.7.

при t₁=1 c: v_1x=1,11 см/с, v_1y=0,73 см/с, v₁=1,33 см/с

2. Аналогично найдем ускорение точки

и при t₁=1 c:

,

3.Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенство V²=V_x²+V_y². Получим:

и

Числовые значения величин V_x, V_y, a_x, a_y, входящих в правую часть выражения, определены выше. Подставив эти значения, найдем, что при t₁=1 c .

4. Нормальное ускорение точки найдем из равенства откуда . Подставляя найденные числовые значения a₁ и a_1τ, получим, что при t₁=1 c, a_1n=0,58 см/с².

5. Радиус кривизны траектории определим из выражения или Подставляя числовые значения V₁ и a_1n, найдем, что при t₁=1 c, ρ₁=3,05 cм.

Ответ: V₁=1,33 см/с, a₁=0,88 см/с²,

a_1n=0,58 см/с², ρ₁=3,05 cм.

Задача 6

Однородный стержень длиной ℓ, массой m прикреплен под углом α к вертикальному валу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью ω═const.

Вал закреплен в подпятнике А и в цилиндрическом подшипнике В. Отрезки АК=КВ=а. Определить реакции связей вала.

Дано: m, ℓ, а, α, ω═const

Определить реакции связей.

Решение.

Строим расчетную схему.

стержня от оси вращения. Силы инерции элементов стержня направлены от оси вращения и численно равны

Эпюра сил инерции элементов стержня образует треугольник. Полученную систему параллельных сил заменим равнодействующей, равной главному вектору этих сил.

,

где - вектор ускорения центра масс стержня

Линия действия равнодействующей должна проходить через центр тяжести эпюры сил инерции.

Центр тяжести треугольника находится на расстоянии 2/3 его высоты от вершины (или 1/3 от основания).

Таким образом, равнодействующая сила инерции стержня численно равна

Вектор силы приложен в т. Д, находящейся на расстоянии 2/3ℓ от точки К.

Полученная система сил уравновешена.

1. ; ,

2. ;

3. ;

Решим полученную систему уравнений. Из уравнения (2): Y_A=P=mg.

Из уравнения (3):

.

Из уравнения (1):

Ответ:

Тесты по дисциплине

1. Какой вектор в механике называют скользящим?

а) вектор равнодействующей системы сил;

б) вектор силы;

в) вектор скорости.

2. Какую способность силы характеризует момент?

а) вращательную способность силы;

б) способность силы совершать поступательное движение;

в) способность силы быть перемещенной по линии ее действия.

3. Что такое пара сил?

а) Система двух сил, линии действия, которых параллельны;

б) Система двух сил, равных по модулю, противоположных по направлению;

в) Система двух равных по модулю, параллельных, направленных в противоположных стороны и не лежащих на одной прямой сил действующих на абсолютно твердое тело.

4. Какое из выражений определяет необходимые и достаточные условия для равновесия произвольной плоской системы сил?

а) ;

б) ;

в)

;

;

5. Что называется интенсивностью распределения нагрузки?

а) Это значение силы приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка;

б) Это сила, которая заменяет действие на тело распределенной силы;

в) Эта сила, численно равное площади эпюры распределенной нагрузки.

6.При координатном способе задания движения точки, закон движения определяется следующим выражением:

а) ;

б) ;

в) .

7. Каким образом направлен вектор скорости точки в данной момент времени?

а) вектор скорости направлен по нормали к траектории;

б) вектор скорости направлен вдаль хорды в сторону движения точки;

в) вектор скорости точки направлен по касательной и траектории в сторону движения.

8. Скорость точки тела, совершающего вращательное движение определить по формуле:

а) ; б) ; в) .

9. Как определить скорость точки тела, совершающего плоскопараллельное движение?

а) Как геометрическую сумму скоростей точки А принятой за полюс вращения и скорости рассматриваемой точки при вращении вокруг точки А;

б) Аналогично определению вектора скорости при вращательном движении;

в) Как сумма проекций скоростей двух точек, принадлежащих рассматриваемому телу.

10. Что такое переносное движение точки?

а) Движение точки совершаемое относительно подвижной системы отсчета;

б) Движение совершаемое подвижной системой отсчета(и связанными с ней точками) относительно неподвижной системе отсчета;

в) Движение точки совершаемое по отношению к неподвижной системе отсчета;

11. Как можно сформулировать вторую (основную) задачу динамики для материальной точки?

а) Зная закон движения точки определить действующую на нее силу;

б) Зная действующие на точку силы определить закон движение точки;

в) Зная закон движения определить реакцию связей, наложенных на точку.

12. Что такое количество движения материальной точки?

а) векторная величина равное произведению масса точки на ее скорость mU;

б) векторная величина равное произведению силы, действующей на точку на элементарный промежуток времени ∆t ×dt;

в) векторная величина равное отношению силы, действующей на точку к элементарному перемещению .

13. Кинетическую энергию системы можно определить по формуле:

а) ; б) ; в) .

14. Принцип Даламбера формулируется следующим образом?

а) При движении системы сумма работ всех активных сил и сил инерции системы равных нулю;

б) В каждый момент времени заданные силы и реакции связей, действующие на материальную точку (тело) как бы уравновешиваются силой инерции;

в) Сумма работ всех внешних и внутренних сил, приложенных к системе равна изменению количества движения системы.

15. Момент инерции цилиндра относительно оси Z находится по формуле:

а) ; б) ; в) .

Ответы на тесты по темам

Ответы на тесты по теме “Статика”

1.1- б); 1.2- в); 1.3- б); 1.4- б); 1.5- в); 1.6- б).

Ответы на тесты по теме “Кинематика”

2.1- б); 2.2- б); 2.3- а); 2.4- б); 2.5- а).

Ответы на тесты по теме “Динамика”

3.1- а); 3.2- б); 3.3- б); 3.4- б); 3.5- б); 3.6- б); 3.7- а).

Рекомендуемая литература

Основная.

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. – М.: Высшая школа, 2007 и другие издания.

2. Яблонский А.А., Никифорова В.Н. Курс теоретической механики. – М.: “OSON”, 2006 и другие издания.

3. Яблонский А.А. Сборник задач по теоретической механике. – М.: «Интеграл-Пресс», 2006 и другие издания.

Дополнительная.

4. Гернет М.М. Курс теоретической механики. – М.: ВШ, 1981 и другие издания.

5. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике. М.: 1989 и другие издания.

6. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. Т1,2 – М.: Наука, 1984 и другие издания

Буторин Леонид Васильевич

Бусыгина Елена Борисовна

Теоретическая механика

Учебно-практическое пособие

Тираж

Заказ №

• ⇐ Назад
• 1
• 2
• 3
• 4
• 56