Оболочки, составленные из изотропных слоев.
Пусть оболочка составлена из различных изотропных слоев. В этом случае для упругих постоянных 
-го слоя оболочки имеем
|
, 
,
, 
Для коэффициентов 
имеем
|
, 
,
, 
.
Основные напряжения в слоях оболочки определяются из выражений
,
|
,
.
При этом
, 
, 
. (2.52)
Формулы внутренних усилий и выражений потенциальной энергии остаются без изменений, причем надо учитывать лишь новые значения жесткостей.
Здесь неизменными также остаются выражения для деформаций и изменений кривизны, кручения, уравнения равновесия и неразрывности деформаций.
Оболочки, составленные из трансверсально изотропных слоев
Рассмотрим три случая
а) Пусть главные направления упругости в каждой точке каждого слоя совпадают с направлениями координатных линий 
. В этом случае надо пользоваться соотношениями, данными для оболочки, составленной из ортотропных слоев, при этом надо полагать для каждого слоя
, 
, 
, 
, 
. (2.53)
б) Пусть главные направления упругости в каждой точке слоев совпадают с направлениями координатных линий 
. В этом случае также надо пользоваться соотношениями для ортотропной оболочки, причем
, 
, , 
, 
. (2.54)
в) Главные направления упругости в каждой точке слоев нормальны к координатной поверхности оболочки. В этом случае надо пользоваться соотношениями для оболочки, составленной из различных изотропных слоев, при этом надо полагать
, 
, 
. (2.55)
Оболочки, составленные из нечетного числа слоев, симметрично расположенных относительно координатной поверхности
Рассмотрим оболочки, составленные из нечетного числа 
однородных анизотропных слоев. Слои оболочки имеют одинаковые толщины и физико-механические свойства. Координатная поверхность является срединной поверхностью как для среднего слоя, так и всей оболочки в целом.
В силу симметрии имеем (см. рис. 2.4)
|
, 
,
, 
.
При этом из (2.29) для жесткостей оболочки получим
;
|
;
.
Для соотношений упругости и потенциальной энергии соответственно получим
; 
;
|
;
;
; 
;
.
. (2.59)
В каждом конкретном случае в эти выражения необходимо подставлять те или иные выражения для жесткостей оболочки.
О соотношениях упругости
Исходя из гипотезы недеформируемых нормалей, следует, что независимо от расположения координатной поверхности оболочки все внутренние силы и моменты в общем случае зависят от деформаций удлинений и сдвига, так и от параметров изменений кривизны ее координатной поверхности.
В связи с этим, безразлично, какое расположение имеет исходная координатная поверхность оболочки. Поэтому интересно выяснить то расположение координатной поверхности оболочки, для которого все жесткости взаимного влияния 
превращаются в нуль, и для многослойной оболочки получаются наиболее простые соотношения упругости.
Полагая =0, из (2.29) получим
при 
, 
=0 (2.60)
при 
, 
=0 (2.61)
при 
, 
=0 и т.д. (2.62)
Рассматривая эти выражения, замечаем, что в общем случае анизотропии слоев оболочки все значения 
отличны друг от друга. Отсюда следует, что в общем случае анизотропной слоистой оболочки, когда не ставятся какие-либо ограничения на упругие характеристики материалов слоев оболочки, нет единого расположения координатной ее поверхности, для которого все жесткости взаимного влияния превращаются в нуль.
При единой координатной поверхности оболочки все жесткости взаимного влияния превратятся в нуль, если поставить условие
, (2.63)
но это условие ставит существенные ограничения на другие характеристики материалов слоев оболочки.
Для примера рассмотрим двухслойную оболочку (рис. 2.6)
 |
Рис.2.6
Полагая 
, 
, 
из (2.63) получим
= 
= …
= 
. (2.64)
Отсюда следует, что равенства (2.64) будут иметь место, если
, (2.65)
что является существенным ограничением для поставленной задачи.
В частном случае изотропной оболочки из (2.45) для упругих характеристик слоев имеем
|
, 
, 
,
, 
, 
,
где 
– модули упругости соответственно первого и второго слоев;
– коэффициенты Пуассона первого и второго слоев.
Подставляя из (2.66) в (2.65), получим
= 
= 
(2.67)
Отсюда следует, что эти равенства имеют место лишь при условии равенства коэффициентов Пуассона слоев оболочки, т.е. когда .
В этом случае легко получить значения 
, определяющее положение координатной поверхности оболочки, для которого жесткости превращаются в нули, т.е.
(2.68)
Таким образом, приходим к заключению, что в общем случае многослойной оболочки при отсутствии ограничения (2.63) не существует такого расположения координатной ее поверхности, когда и для многослойной оболочки получаются соотношения упругости типа (2.47) при =0.