Использование сдвига для улучшения сходимости
Так же, как и прямой степенной, обратный степенной метод может оказаться медленно сходящимся. Напомним (см формулу (11.2)), что вектор 
, принятый как начальный, можно представить как линейную комбинацию собственных векторов исследуемой матрицы 
:
. (11.13)
Тогда после 
-го шага обратного степенного метода
. (11.14)
Ясно, что вектор 
тем скорее станет доминирующим, чем больше будет отношение 
. Быстрее всего последовательность (11.14) сходилась бы, если бы 
было очень малой величиной, близкой к нулю. К сожалению, мы поменять не можем – ведь это и есть та величина, которую надо определить.
Вспомним, однако, свойство операции сдвига матриц:
Операцией сдвига по отношению к матрице называется вычитание из всех ее диагональных элементов одного и того же числа. Так, выражение
означает, что матрица 
получена в результате сдвига матрицы 
на 
.
Для приложений очень важно следующее свойство этой операции: в результате операции сдвига собственные значения матрицы изменяются на величину сдвига, а соответствующие собственные вектора остаются прежними. В самом деле, пусть 
собственное значение матрицы , а 
– соответствующий собственный вектор. Тогда
.
Если 
– собственные значения матрицы и 
– соответствующие собственные векторы, то матрица 
имеет собственные значения 
и собственные векторы .
Согласно этому свойству, если нам будет известно достаточно хорошее приближение 
, то обратный степенной метод для матрицы 
будет сходиться значительно быстрее, чем для матрицы . Полученные для минимальное собственное значение (обозначим его 
) и собственный вектор позволяют определить минимальное собственное значение 
и собственный вектор матрицы .
Остается вопрос, откуда взять хорошее приближение для ? Практика и теоретические исследования показали, что лучшим выбором является отношение Рэлея:
, (11.15)
где, вообще говоря, 
– произвольный вектор; мы же будем брать в качестве вектор, полученный в результате очередной итерации.
Более подробно это отношение и его свойства будут рассмотрены в следующих лекциях. Здесь же отметим еще, что для произвольного вектора
, (11.16)
причем равенство достигается в случае, если является первым собственным вектором матрицы .
Пример.Вновь рассмотрим ту же матрицу
с тем же начальным вектором
.
Кстати, поясним несколько странный выбор начального вектора в трех примерах этого параграфа. Обычно при применении степенных методов, не мудрствуя лукаво, в качестве начального вектора берут вектор с единичными элементами, т.е. следовало бы принять 
. Однако в этом случае точно совпало бы с собственным вектором матрицы . Поэтому для того, чтобы показать, как в процессе итераций от исходного неточного вектора происходит постепенное приближение к собственному, пришлось немного «испортить» начальный вектор.
1-я итерация:
Как видим, уже первая итерация дала такую точность, какую методы без сдвига достигали лишь после третьей итерации. Для убедительности примера все-таки проведем еще одну итерацию.
2-я итерация:
Метод Якоби
Вспомним, что если 
– ортогональная матрица, приводящая матрицу к диагональному виду: 
, то столбцы – собственные вектора матрицы , а элементы диагональной матрицы 
– ее собственные значения.
Ортогональные матрицы
Определение. Матрица
называется ортогональной, если ее столбцы ортонормированны, то есть
.
Следствие.Для ортогональной матрицы ее обратная матрица равна ее транспонированной, т.е. 
или, что то же самое, 
.
Еще одно следствие. Произведение ортогональных матриц есть ортогональная матрица. В самом деле, если 
и 
, то
.