Нахождение уравнений регрессии для других элементарных функций
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
1. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Пусть в результате экспериментов (например, измерений) найдены 
значений аргумента 
и 
соответствующих им значений функции 
:
Таблица 1
| 
| 
| ... | 
|
| 
| 
| ... | 
|
Найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически и принимающую значения, близкие к табличным.
Одним из распространенных методов нахождения приближающей аналитической функции является метод наименьших квадратов, который формулируется следующим образом: для функции 
, заданной таблицей, найти функцию 
определенного вида, такую, чтобы сумма квадратов расстояний между точками 
и 
была наименьшей:
(1.1)
Уравнение 
называется уравнением регрессии 
на 
.
На рис. 1 показана приближающая функция для заданных табличных значений (они изображены точками). Из рисунка видно, что приближающая функция представляет гладкую кривую
Рассмотрим метод нахождения приближающей функции на примере приближающей функции с 
параметрами:
(1.2)
Пусть 
, 
. Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций 
и 
имеет вид
(1.3)
Эта сумма является функцией от параметров 
Задача сводится к отысканию минимума функции 
. Используем условие экстремума:
, 
, …, 
,
или
(1.4)
………………………………………………………
Решив эту систему уравнений относительно 
неизвестных 
, найдем функцию 
.
Значения разностей
(1.5)
называются отклонениями экспериментальных значений от вычисленных по формуле (1.2). Для найденной приближающей функции сумма квадратов отклонений
(1.6)
в соответствии с принципом наименьших квадратов должна быть наименьшей.
Формулы для функции с 
параметрами будем использовать для приближающих функций, содержащих два и три параметра.
Приближающие функции с двумя параметрами
В качестве приближающих функций в зависимости от характера экспериментальных данных часто используют следующие функции:
1) 
5) 
2) 
6) 
3) 
7) 
4) 
8) 
Линейная и квадратичная регрессия
Рассмотрим линейную регрессию
(2.1)
Найдем частные производные по параметрам
, 
Составим систему уравнений вида (1.4)
, 
После алгебраических преобразований перепишем систему в виде
Введем обозначения
, 
, 
(2.2)
, 
Тогда последняя система примет вид
(2.3)
Найдем параметры 
и 
, решив систему уравнений (2.3)
(2.4)
Нахождение уравнений регрессии для других элементарных функций
Степенная функция (геометрическая регрессия)
(2.5)
Полагая, что 
и 
, прологарифмируем формулу (2.5)
(2.6)
Введем новую функцию 
, новую переменную 
и новые постоянные 
и 
, 
(2.7)
, 
(2.8)
Введенная функцию 
запишется в виде:
(2.9)
т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.
Для нахождения степенной приближающей функции следует
1) пересчитать исходную таблицу 
и 
в новую таблицу значений 
и 
по формулам, 
2) для новой таблицы значений 
и 
найти постоянные 
и 
,
3) после определения постоянных и (см. п.1.1) , найдем постоянные 
и 
по формулам
, 
(2.10)
Показательная функция
(2.11)
Логарифмируя показательную функцию (2.11), получим
(2.12)
Приняв обозначения , , перепишем (2.12) в виде
(2. 13)
где 
, а и определяются по формулам , .
Для нахождения показательной приближающей функции следует
1) заменить в исходной таблице 
, 
значения на 
,
2) для новой таблицы значений 
и 
найти постоянные 
и ,
3) после определения постоянных 
и 
(см. п.1.1) , найдем постоянные 
и 
по формулам , .
Дробно-линейная функция
(2.14)
Введем новую приближающую функцию по формуле
, 
(2.15)
Из последнего равенства видно, что для нахождения параметров 
и 
по заданной таблице 1 следует составить новую таблицу, у которой значения аргумента оставить прежними, а значения функции заменить обратными числами, после чего для полученной таблицы найти приближенную функцию 
. Найденные значения параметров 
и 
подставить в формулу функции (2.14).
Логарифмическая функция
(2.16)
Очевидно, что для перехода к линейной функции следует сделать замену аргумента 
по формуле
(2.17)
Новая приближающая функция примет вид
(2.18)
Из формул (2.16), (2.17) видно, что для нахождения значений 
и 
нужно составить новую таблицу, в которой значения аргумента определяются по формулам (2.17) путем логарифмирования заданных 
, а значения функции те же, что в исходной таблице. Для линейной функции (2.18) описанным ранее способом найдем коэффициенты 
и 
, затем подставим их в искомую формулу (2.16).
Гипербола
(2.19)
Для перехода к линейной функции сделаем замену переменной
(2.20)
Новая приближающая функция запишется в виде
Для нахождения функции (2.19) следует вычислить значения нового аргумента 
по формулам (2.20) и найти для новой таблицы линейную приближающую функцию. Полученные значения и 
подставим в искомую формулу (2.19).