Качественная оценка коэффициента корреляции
Если rху имеет максимальное значение, равное единице, то мы имеем дело со строгой линейной положительной зависимости между выборочными значениями x и у (на диаграмме рассеяния все точки находятся точно на восходящей прямой линии).
Если rху принимает минимальное значение -1, когда существует линейная отрицательная зависимость (точки лежат точно на нисходящей прямой линии). Последняя ситуация часто наблюдается при рассмотрении зависимости спроса на товар от его цены.
Величина rху = 0 показывает, что зависимость между наблюдениями x и у в выборке отсутствует.
| Теснота связи | Величина линейного коэффициента корреляции | |
| Прямая связь | Обратная связь | |
| Практически отсутствует | 0,1 – 0,3 | (-0,1) – (-0,3) |
| Слабая | 0,3 – 0,5 | (-0,3) –(- 0,5) |
| Умеренная | 0,5 – 0,7 | (-0,5) – (-0,7) |
| Сильная | 0,7 – 1,0 | (-0,7) – (-1,0) |
Оценка значимости коэффициента парной корреляции
Любая совокупность наблюдений представляет собой некоторую выборку. Значит, значение любого показателя, рассчитанное на основе этой выборке, не может рассматриваться как истинное. В связи с этим, возникает необходимость проверки значимости этого показателя.
Для оценки значимости коэффициента корреляции применяется t - критерий Стьюдента. Фактическое значение этого критерия рассчитывается по формуле:
.
Вычисленное по этой формуле значение 
сравнивается с табличным значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t-Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы (α = 0,05 или 0,01, k = n -2 ).
Если > 
, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым. Таким образом, делается вывод о том, что между исследуемыми переменными есть статистическая взаимосвязь.
Парный коэффициент детерминации
Зная линейный коэффициент корреляции, можно рассчитать парный коэффициент детерминации r2ху. Он показывает, какая доля вариации переменной Y учтена в модели и обусловлена влиянием на неё переменной X.
Пример
По представленным данным о спросе и доходе населения за ряд текущих лет определить степень влияния дохода населения на его спрос. Оценить значимость коэффициента корреляции.
| Год | Доход, Х | Спрос, Y | 
| 
| 
| 
| 
|
| -5 | -3,3 | 16,5 | 10,89 | ||||
| -3 | -1,3 | 3,9 | 1,69 | ||||
| -1 | -1,3 | 1,3 | 1,69 | ||||
| 10,3 | |||||||
| 10,5 | 1,2 | 3,6 | 1,44 | ||||
| 3,7 | 18,5 | 13,69 | |||||
| Итого | 55,8 | 44,80 | 70,00 | 30,40 | |||
| Среднее | 9,3 | 7,47 | 11,67 | 5,07 |
Средние значения случайных величин Х и Y рассчитаем по формулам, соответственно:
.
Стандартные ошибки случайных величин Х и Y рассчитаем по формулам, соответственно:
Рассчитаем ковариацию:
.
Аналогичные расчеты можно получить, используя встроенные возможности электронных таблиц Excel: КОВАР(массив1; массив2), которая возвращает ковариацию, то есть среднее произведений отклонений для каждой пары точек данных.
Синтаксис функции:
Массив1 — это первый массив или интервал данных.
Массив2 — это второй массив или интервал данных.
Рассчитаем коэффициент парной корреляции:
.
Аналогичные расчеты также можно получить, используя встроенные возможности электронных таблиц Excel: КОРРЕЛ(массив1;массив2), которая возвращает коэффициент корреляции меду интервалами ячеек массив1 и массив2.
Синтаксис функции:
Массив1 — это ячейка интервала значений.
Массив2 — это второй интервал ячеек со значениями.
Оценим значимость коэффициента корреляции.
Для этого рассчитаем значение t – статистики:
Табличное значение критерия Стьюдента равно:
Воспользуемся встроенными возможности электронных таблиц Excel: функция СТЬЮДРАСПОБР(вероятность;степени_свободы) возвращает t-значение распределения Стьюдента как функцию вероятности и числа степеней свободы.
Синтаксис функции:
Вероятность - вероятность, соответствующая двустороннему распределению Стьюдента (α = 0,05 или 0,01).
Степени_свободы— число степеней свободы, характеризующее распределение (k = n -2).
Сравним числовые значения критериев:
.
Полученное значение коэффициента корреляции значимо.
Вычислим парный коэффициент детерминации:
r2ху = 0,9432.
Таким образом, доход населения (Х) оказывает весьма высокое влияние на спрос (Y). На 94% спрос населения зависит от дохода. Оставшиеся 6% (100 – 94) - это влияние неучтённых факторов.
Регрессионный анализ
После установления наличия корреляционной зависимости между признаками, экономистов интересует установление аналитической формы этой зависимости. Это является основной задачей регрессионного анализа.