Вычисление определенного интеграла
Все методы интегрирования, используемые при нахождении неопределенных интегралов, применяются и при вычислении определенных интегралов.
Непосредственное интегрирование.
Пример 1. Вычислить интеграл
а) 
b) 
2. Метод подстановки (замена переменной) для определенного интеграла состоит в следующем:
1) часть подынтегральной функции заменить новой переменной;
2) найти дифференциал обеих частей замены;
3) найти новые пределы интегрирования;
4) все подынтегральные выражения выразить через новую переменную;
5) вычислить полученный интеграл.
Пример 2. Вычислить интеграл методом замены переменной
а) 
Решение: Положим 
, тогда 
. Определим пределы интегрирования для новой переменной 
при 
получаем 
при 
получаем 
. Вычислим получившийся интеграл:
Приложения определенного интеграла
а) Вычисление площадей плоских фигур
Определение:Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции 
, прямыми 
и отрезком оси 
.
1) Пусть 
непрерывная неотрицательная функция на отрезке 
, тогда ее график расположен над осью . Если фигура, расположенная над осью является криволинейной трапецией, то ее площадь вычисляется по формуле:
(1)
2) Пусть непрерывная неположительная функция на отрезке , тогда ее график расположен под осью . Если фигура, расположенная под осью является криволинейной трапецией, то ее площадь вычисляется по формуле:
(2)
3) Пусть фигура ограничена двумя пересекающимися кривыми и 
и прямыми 
, где и 
. Тогда ее площадь вычисляется по формуле:
(3)
б) Вычисление объемов тел вращения
Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой 
, где 
, прямыми и отрезком оси вычисляется по формуле:
(4)
Примеры решения задач
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
и 
Решение:Построим параболу и прямую в одной координатной плоскости
Для определения абсцисс точек пересечения решим уравнение: 
. Получаем 
и 
. Следовательно, 
и 
. На отрезке 
имеем: 
. Значит для нахождения искомой площади воспользуемся формулой (3):
(кв. ед.).
Ответ: (кв. ед.).
Пример 2. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями 
Решение: Очевидно, что объем данного тела вращения равен разности объемов тел, полученных вращением криволинейных трапеций, соответствующих функциям 
и 
, 
.
Обозначим эти объемы через 
. Найдем их по формуле (4):
Искомый объем равен: 
Ответ: 
(куб. ед.)