Расчет основных показателей системы массового обслуживания
Данная система представляет собой частный случай системы гибели и размножения.
Граф данной системы:
Рисунок 167. – Граф состояний исследуемой СМО
Поскольку все состояния являются сообщающимися и существенными, то существует предельное распределение вероятностей состояний. В стационарных условиях поток, входящий в данное состояние должен быть равен потоку, выходящему из данного состояния.
(310)
Для состояния S0:
(311)
Следовательно:
(312)
Для состояния S1:
(313)
Следовательно:
(314)
С учетом того, что :
(315)
Аналогично получаем уравнения для остальных состояний системы. В результате получим систему уравнений:
(316)
Решение этой системы будет иметь вид:
; 
; 
; 
; 
;
; 
. (317)
Или, с учетом вышеизложенного:
; 
; 
; 
; 
; 
;
. (318)
Рисунок 169.
Коэффициент загруженности СМО:
(319)
С учетом этого предельные вероятности перепишем в виде:
(320)
Рисунок 170.
Наивероятнейшее состояние – оба канала СМО заняты и заняты все места в очереди.
Вероятность образования очереди:
Отказ в обслуживании заявки происходит, когда все m мест в очереди заняты, т.е.:
Относительная пропускная способность равна:
Вероятность того, что вновь поступившая заявка будет обслужена, равна 0,529
Абсолютная пропускная способность:
СМО обслуживает в среднем 0,13225 заявок в минуту.
Среднее число заявок, находящихся в очереди:
Среднее число заявок в очереди близко к максимальной длине очереди.
Среднее число заявок, обслуживаемых в СМО, может быть записано в виде:
В среднем все каналы СМО постоянно заняты.
Среднее число заявок, находящихся в СМО:
Для открытых СМО справедливы формулы Литтла:
Среднее время пребывания заявки с СМО:
Среднее время пребывания заявки в очереди:
Наиболее вероятное состояние данной СМО – занятость всех каналов и мест в очереди. Приблизительно половина всех поступающих заявок покидают СМО не обслуженными. Приблизительно 66,5% времени ожидания приходиться на ожидание в очереди. Оба канала постоянно заняты. Все это говорит о том, что в целом данная схема СМО неудовлетворительна.
Чтобы снизить загрузку каналов, сократить время ожидания в очереди и снизить вероятность отказа необходимо увеличить число каналов и ввести систему приоритетов для заявок. Число каналов целесообразно увеличить до 4. Также необходимо сменить дисциплину обслуживания с FIFO на систему с приоритетами. Все заявки теперь будут иметь принадлежность к одному из двух приоритетных классов. Заявки I класса имеют относительный приоритет по отношению к заявкам II класса. Для расчета основных показателей этой видоизмененной СМО целесообразно применить какой-либо из методов имитационного моделирования. Была написана программа на языке Visual Basic, реализующая метод Монте-Карло.
Задание 10.