КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Определение. Пусть задана последовательность и пусть
- возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность
подпоследовательность исходной последовательности.
Теорема.Последовательность имеет предел A тогда и только тогда, когда любая её подпоследовательность имеет предел, равный A.
Теорема. (Лемма Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной бесконечной последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу.
Определение.Последовательность называется фундаментальной, если для любого положительного
существует такое
, что для всех
разность значений
по модулю меньше
, т.е.
.
Теорема .(Критерий Коши для последовательности) Предел последовательности существует тогда и только тогда, когда эта последовательность является фундаментальной.
Теорема .(Критерий Коши для функции) Условие: для любого существует такое
, что для любых
из
разность значений функции
в этих точках по абсолютной величине меньше
, равносильно тому, что существует предел этой функции при
, т.е.
. (1)
Определение .( предела функции при
по Гейне ). Говорят, что функция
имеет при
предел
, если для любой последовательности
такой, что
и такой, что для всех
выполнено неравенство
, предел
.
Теорема.Определение предела по Коши, равносильно определению предела по Гейне.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ТОЧКИ РАЗРЫВА.СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
ОпределениеФункция называется непрерывнойв точке
, если
, т.е.
.
Для непрерывности в точке используется обозначение
.
Теорема. .Если функции и
непрерывны в точке
, то сумма, разность, произведение и, если
, то и частное этих функций - тоже непрерывны в точке
.
Теорема (непрерывность сложной функции). Пусть непрерывна в точке
, причем
. Пусть
непрерывна в точке
. Тогда сложная функция
непрерывна в точке
.
Несколько сложнее теорема о пределе сложной функции.
Теорема .Пусть определена в проколотой окрестности точки a,
. Пусть
определена в проколотой окрестности точки b и
.
Пусть, кроме того, выполняется хотя бы одно из двух условий:
1. непрерывна в точке
;
2. Существует такая , что
.
Тогда существует и этот предел равен с.
Примечание. Обычно при вычислении пределов мы используем монотонные замены переменной и условие 2 выполняется.
Примечание . Если не выполняется ни одно из условий, то может оказаться, что предел не существует, либо существует, но не равен с.
Определение.Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что она разрывна в этой точке.
При этом предполагаем, что является точкой из области определения функции.
Точки разрыва делятся на следующие классы.
Определение. Точкой устранимого разрыва называется такая точка , что существует
, но
. Таким образом, можно переопределить функцию так, чтобы получилась непрерывная функция.
Иногда к точкам устранимого разрыва относят такие точки , что существует
, но при этом значение
не определено. В этом случае можно доопределить функцию в точке
так, чтобы получилась непрерывная функция.
Поясним сказанное примерами:
- Пусть
. Эта функция не определена в точке
, но её предел при
существует и равен 1. Поэтому можно
доопределить функцию , рассмотрев функцию
По определению, функция – непрерывна в
.
- Пусть
Переопределим функцию в точке , положив
.
Получилась непрерывная функция .
И в том, и в другом примере разрыв удалось устранить.
Определение 13.4.Точкой разрыва первого роданазывается точка ,
в которой существуют и
, причем
и существует значение
Например, функция обладает разрывом в точке 0 первого рода.
Замечание. Монотонная в окрестности точки
функция
имеет
и
. Поэтому она либо непрерывна в точке a, когда оба эти предела равны друг другу, либо имеет в ней разрыв первого рода, когда эти пределы различные.
Определение.Если хотя бы один из пределов ,
не существует, или бесконечен, то говорят, что
– точка разрыва второго рода.