КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Определение. Пусть задана последовательность 
и пусть 
- возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность 
подпоследовательность исходной последовательности.
Теорема.Последовательность имеет предел A тогда и только тогда, когда любая её подпоследовательность имеет предел, равный A.
Теорема. (Лемма Больцано-Вейерштрасса) Из любой ограниченной бесконечной последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к конечному пределу.
Определение.Последовательность 
называется фундаментальной, если для любого положительного 
существует такое 
, что для всех 
разность значений 
по модулю меньше , т.е. 
.
Теорема .(Критерий Коши для последовательности) Предел последовательности существует тогда и только тогда, когда эта последовательность является фундаментальной.
Теорема .(Критерий Коши для функции) Условие: для любого 
существует такое 
, что для любых 
из 
разность значений функции 
в этих точках по абсолютной величине меньше , равносильно тому, что существует предел этой функции при 
, т.е. 
. (1)
Определение .( предела функции при по Гейне ). Говорят, что функция имеет при предел 
, если для любой последовательности 
такой, что 
и такой, что для всех 
выполнено неравенство 
, предел 
.
Теорема.Определение предела по Коши, равносильно определению предела по Гейне.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ. ТОЧКИ РАЗРЫВА.СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
ОпределениеФункция 
называется непрерывнойв точке 
, если 
, т.е. 
.
Для непрерывности в точке используется обозначение 
.
Теорема. .Если функции 
и 
непрерывны в точке , то сумма, разность, произведение и, если 
, то и частное этих функций - тоже непрерывны в точке 
.
Теорема (непрерывность сложной функции). Пусть 
непрерывна в точке , причем 
. Пусть 
непрерывна в точке 
. Тогда сложная функция 
непрерывна в точке .
Несколько сложнее теорема о пределе сложной функции.
Теорема .Пусть 
определена в проколотой окрестности точки a, 
. Пусть 
определена в проколотой окрестности точки b и 
.
Пусть, кроме того, выполняется хотя бы одно из двух условий:
1. непрерывна в точке ;
2. Существует такая 
, что 
.
Тогда существует 
и этот предел равен с.
Примечание. Обычно при вычислении пределов мы используем монотонные замены переменной и условие 2 выполняется.
Примечание . Если не выполняется ни одно из условий, то может оказаться, что предел не существует, либо существует, но не равен с.
Определение.Если функция не является непрерывной в точке , то говорят, что она разрывна в этой точке.
При этом предполагаем, что является точкой из области определения функции.
Точки разрыва делятся на следующие классы.
Определение. Точкой устранимого разрыва называется такая точка , что существует 
, но 
. Таким образом, можно переопределить функцию так, чтобы получилась непрерывная функция.
Иногда к точкам устранимого разрыва относят такие точки , что существует , но при этом значение 
не определено. В этом случае можно доопределить функцию в точке так, чтобы получилась непрерывная функция.
Поясним сказанное примерами:
- Пусть
. Эта функция не определена в точке 
, но её предел при 
существует и равен 1. Поэтому можно
доопределить функцию 
, рассмотрев функцию 
По определению, функция 
– непрерывна в 
.
- Пусть
Переопределим функцию в точке 
, положив 
.
Получилась непрерывная функция 
.
И в том, и в другом примере разрыв удалось устранить.
Определение 13.4.Точкой разрыва первого роданазывается точка ,
в которой существуют 
и 
, причем 
и существует значение
Например, функция 
обладает разрывом в точке 0 первого рода.
Замечание. Монотонная в окрестности 
точки функция имеет 
и 
. Поэтому она либо непрерывна в точке a, когда оба эти предела равны друг другу, либо имеет в ней разрыв первого рода, когда эти пределы различные.
Определение.Если хотя бы один из пределов , не существует, или бесконечен, то говорят, что – точка разрыва второго рода.