Понятие дифференциала числовой функции
Определение. Если числовая функция 
дифференцируема в точке 
, то ее
дифференциалом 
в этой точке называют однородную линейную функцию
(новой) независимой переменной 
.
Таким образом,
=
Положив в формуле 
, получим
так что дифференциал 
функции в каждой точке 
есть
тождественная функция. Получаем
= 
равенство двух линейных функций и . Из него следует, что часто используемое обозначение производной 
можно рассматривать, как отношение дифференциалов
и 
.
Функция определена для всех действительных значений .
Однако по традиции часто рассматривают лишь на множестве тех ,
для которых 
принадлежит области определения функции; т.е.,
лишь на множестве приращений аргумента функции .
Это объясняется тем, что дифференциал тесно связан с приращением функции.
Так как, по предположению, дифференцируема в точке x, то
,
где 
при 
и первое слагаемое в правой части дифференциал,
но рассматриваемый только для 
. Если 
, то
,поэтому говорят, что «дифференциал есть главная
линейная часть приращения функции».
Геометрический и механический смысл дифференциала.
Пусть числовая функция дифференцируема в точке . Как известно, ее график
имеет в точке 
касательную с угловым коэффициентом 
.
ТеоремаЗначение = дифференциала равно приращению ординаты этой
касательной при переходе от к .
Инвариантность формы первого дифференциала
Правило дифференцирования сложной функции приведет нас к одному замечательному и важному свойству дифференциала.
Пусть функции 
и 
таковы, что из них может быть составлена сложная функция: 
. Если существуют производные 
и 
, то существует и производная
Перейдём теперь к независимой переменной 
; в этом предположении имеем другое выражение для дифференциала:
.
Заменяя производную 
её выражением и замечая, что 
есть дифференциал 
как функции от 
, окончательно получим:
,
т. е. вернёмся к прежней форме дифференциала.
Таким образом, мы видим, что
форма дифференциала может быть сохранена даже в том случае, если прежняя независимая переменная заменена новой.
Мы всегда имеем право писать дифференциал 
как в форме (1), будет ли 
независимой переменной или нет; разница лишь в том, что, если за независимую переменную выбрано 
, то 
означает не произвольное приращение 
, а дифференциал как функции от 
. Это свойство и называют инвариантностью формы дифференциала.
Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
Из любой формулы для производной в точке x при умножении на dx
получается соответствующая формула для дифференциала. В частности, в точках,
где функции u, v удовлетворяют условиям теорем о дифференцируемости суммы,
произведения или частного получаем: d(u+v)=du+dv;
аналогично, d(uv)=vdu+udv, d(u/v)=(vdu-udv)/v2.
Отметим, что если C – постоянная, то dC=0, dCu=Cdu.