Статистические функции дискретных распределений
Функции биномиального распределения
Функция БИНОМРАСП
См. также ВЕРОЯТНОСТЬ, ОТРБИНОМРАСП, КРИТБИНОМ, ГИПЕРГЕОМЕТ.
Синтаксис;
БИНОМРАСП (число успехов; число испытаний; вероятность успеха; интегральная)
Результат;
Рассчитывает биномиальное распределение.
Аргументы;
Число успехов: количество успешных испытаний;
Число испытаний: число независимых испытаний;
Вероятность успеха: вероятность успеха каждого испытания;
интегральная; логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент интегральная = 1, то функция БИНОМРАСП рассчитывает интегральную функцию распределения, т. е. вероятность того, что число успешных испытаний не больше значения аргумента Число успехов. Если аргумент интегральная = 0, то рассчитывается дифференциальная функция распределения, т. е. вероятность того, что число успешных испытаний в точности равно значению аргумента Число успехов.
Математико-статистическая интерпретация;
Во многих экономических и инженерных задачах рассматриваются независимые многократно повторяемые испытания, называемые испытаниями Бернулли. Каждое такое испытание приводит к одному из двух возможных исходов, называемых часто успехом и неудачей, и вероятность успеха р не меняется от одного опыта к другому. Наиболее знаком пример многократного подбрасывания монеты. Если монета является геометрически правильной, то р = 0,5. Часто бывает необходимо знать вероятность появления ровно х (или не менее х) успешных исходов при n независимых испытаниях.
Согласно закону умножения независимых событий вероятность появления определенной последовательности х успешных и n-х неудачных исходов в n испытаниях равна р x(1-р) n-x, где р— вероятность успеха при одном испытании. Из комбинаторики известно, что при n испытаниях х успешных и n-x неудачных исходов могут появиться Сnx различными одинаково возможными способами:
Следовательно, согласно закону сложения взаимно исключающих событий вероятность появления ровно х успешных исходов в n независимых испытаниях определяется распределением, получившим название биномиального (или распределения Бернулли):
f(x; р;n) = 
, x = 0, ,.n
где р - вероятность успеха при одном испытании.
Вероятность появления не более r успешных исходов в n независимых испытаниях задается интегральной функцией биномиального распределения
P(x≤r) = F(r; p;n) = 
(6.1)
а вероятность появления не менее r успешных исходов в n независимых испытаниях — следующей интегральной функцией биномиального распределения:
P( x ≥ r) = F(r; p;n) = 
По формуле (6.1) производит вычисления функция БИНОМРАСП, если аргумент интегральная = 1. В случае если аргумент интегральная = 0, функция БИНОМРАСП рассчитывает значение функции f(x; р;n).
Рассмотрим один из типичных примеров применения биномиального распределения для решения производственных задач.
Пример 6.18. Промышленное предприятие производит крупными партиями электрические лампочки. Отдел технического контроля из каждой партии случайным образом выбирает 100 лампочек. Партия принимается, если выборка содержит не более 3 дефектных лампочек. Какова вероятность принятия партии, если в процессе производства в среднем 0,5% лампочек дефектны?
Применительно к статистике эту задачу можно сформулировать иначе: «Какова вероятность появления не более 3 успешных исходов в 100 независимых испытаниях Бернулли, если вероятность успешного исхода при одном испытании составляет 0,005?».
Для решения задачи используем функцию = БИНОМРАСП (3;100;0,005;1), которая рассчитает значение 0,9983. Таким образом, вероятность принятия партии стремится к 1.
Математическое ожидание и дисперсия биномиального распределения имеют следующий вид:
а(х) = nр, σ 2 (x) = nр (1 - р).
Биномиальное распределение симметрично при р = 0,5. При р ≠ 0,5 распределение приближается к симметричному при увеличении n; приближение будет происходить тем быстрее, чем ближе значение р к 0,5. Кроме того, при увеличении n биномиальное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением с теми же математическим ожиданием и дисперсией, т. е. а(х) = nр, и σ2 (x) = nр(1 - р). Это аппроксимирующее распределение дает приемлемые результаты, если nр и n(1-р) не менее 5.
Функция ОТРБИНОМРАСП
См. также БИНОМРАСП.
Синтаксис;
ОТРБИНОМРАСП (число неудач; число успехов; вероятность успеха)
Результат
Рассчитывает распределение Паскаля.
Аргументы;
Число неудач: количество неудачных испытаний;
Число успехов: пороговое значение числа успешных испытаний;
Вероятность успеха: вероятность успеха.
Математико-статистическая интерпретация;
Функция ОТРБИНОМРАСП рассчитывает вероятность того, что при проведении независимых испытаний Бернулли, каждое с вероятностью успеха р, до появления ровно s успешных исходов произойдет х неудачных исходов (или, что то же самое, потребуется всего х+s испытаний). В этом случае вероятность появления х неудачных исходов описывается распределением Паскаля:
f(x; s, p) = 
p s (1-p) x
где х — число неудачных исходов;
s — число успешных исходов;
p — вероятность успешного исхода.
Применение функции ОТРБИНОМРАСП для решения практических задач рассмотрим на следующих примерах.
Пример 6.19. Вероятность попадания в объект управляемой авиационной бомбы оценивается как 0,6. Для гарантированного уничтожения объекта необходимо осуществить три попадания. Какова вероятность того, что для уничтожения объекта потребуется ровно: а) 3 бомбометания; б) 4 бомбометания; в) 5 бомбометаний; г) 10 бомбометаний?
Для решения задачи используем функцию ОТРБИНОМРАСП, которая рассчитает следующие значения:
а) 0,216 (формула =ОТРБИНОМРАСП(0;3;0,6));
б) 0,259 (формула =ОТРБИНОМРАСП(1;3;0,6));
в) 0,207 (формула =ОТРБИНОМРАСП(2;3;0,6));
г) 0,013 (формула =ОТРБИНОМРАСП(7;3;0,6)).
Вероятность того, что объект будет уничтожен не более чем при 5 бомбометаниях, оценивается как 0,216 + 0,259 + 0,207 = 0,682.
Пример 6.20. Для работы в торговом представительстве необходимо отобрать двух кандидатов, обладающих целым рядом определенных профессиональных качеств. По опыту прошлых отборов замечено, что подходящий кандидат приходится в среднем на два неподходящих. Какова вероятность того, что придется провести собеседование не более чем с пятью неподходящими кандидатами, прежде чем будут найдены два подходящих кандидата?
Для решения задачи используем функцию ОТРБИНОМРАСП, которая рассчитает следующие значения:
а) 0,111 (формула =ОТРБИНОМРАСП(0;2;1/3));
б) 0,148 (формула =ОТРБИНОМРАСП(1;2;1/3));
в) 0,148 (формула =ОТРБИНОМРАСП(2;2;1/3));
г) 0,132 (формула =ОТРБИНОМРАСП(3;2;1/3));
д) 0,110 (формула =ОТРБИНОМРАСП(4;2; 1/3));
е) 0,088 (формула =ОТРБИНОМРАСП(5;2;1/3)).
Вероятность того, что придется провести собеседование не более чем с пятью неподходящими кандидатами, прежде чем будут найдены два подходящих, составляет 0,737 (0,111 + 0,148 + 0,148 + 0,132 + 0,110 + 0,088 = 0,737).
Функция КРИТБИНОМ
См. также БИНОМРАСП, ОТРБИНОМРАСП.
Синтаксис;
КРИТБИНОМ (число испытаний; вероятность успеха; альфа)
Результат;
Рассчитывает наименьшее значение, для которого интегральное биномиальное распределение больше или равно заданному критерию.
Аргументы;
Число испытаний: число испытаний Бернулли;
Вероятность успеха: вероятность успеха в каждом испытании;
альфа: значение критерия.
Математико-статистическая интерпретация;
См. описание функции БИНОМРАСП.
Функция КРИТБИНОМ является обратной по отношению к функции БИНОМРАСП и рассчитывает наименьшее значение, для которого интегральное биномиальное распределение больше или равно заданному критерию. Эта функция наиболее часто используется в приложениях, связанных с контролем качества продукции.
Пример. 6.21. По исходным данным примера 6.18 (за исключением числа дефектных лампочек в выборке) требуется определить наибольшее допустимое число дефектных лампочек в выборке, при котором вероятность принятия партии составит: а) 0,9; б) 0,95; в) 0,99.
Для решения задачи используем функцию КРИТБИНОМ, которая рассчитает следующие значения:
а) 1 (формула =КРИТБИНОМ(100;0,005;0,90));
б) 2 (формула =КРИТБИНОМ(100;0,005;0,95));
в) 3 (формула =КРИТБИНОМ(100;0,005;0,99)).
Из полученных результатов видно, что при ограничении «не более 1 дефектной лампочки в выборке» вероятность принятия партии будет лежать в интервале от 0,9 до 0,95; при ограничении «не более 2 дефектных лампочек в выборке» — в интервале от 0,95 до 0,99; при ограничении «не более 3 дефектных лампочек в выборке» — в интервале от 0,99 до некоторого значения, которое можно рассчитать аналогичным образом. Точные значения вероятности принятия партии можно вычислить с помощью функции БИНОМРАСП:
формула =БИНОМРАСП(1;100;0,005;ИСТИНА) рассчитает значение 0,91;
формула =БИНОМРАСП(2;100;0,005;ИСТИНА) вычислит значение 0,986;
формула =БИНОМРАСП(3;100;0,005;ИСТИНА) рассчитает значение 0,998.
Функция ВЕРОЯТНОСТЬ
См. также БИНОМРАСП, КРИТБИНОМ.
Синтаксис;
ВЕРОЯТНОСТЬ(x - интервал; интервал вероятностей; нижний предел; верхний предел)
Результат;
Рассчитывает вероятность того, что значения из интервала находятся внутри заданных границ.
Аргументы;
x - интервал: интервал числовых значений х, с которыми связаны вероятности;
интервал вероятностей: множество вероятностей, соответствующих значениям в аргументе х - интервал.
нижний предел: нижняя граница значения, для которого требуется вычислить вероятность;
верхний предел: необязательная верхняя граница значения, для которого требуется вычислить вероятность.
Математико-статистическая интерпретация;
В основе применения функции ВЕРОЯТНОСТЬ лежит теорема сложения вероятностей, которая формулируется следующим образом.
Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P 
Из теоремы сложения вероятностей вытекает следующее следствие.
Следствие. Если события А1 , А2., ,А n., образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1:
Теорема сложения вероятностей и ее следствие обусловливают математическую интерпретацию функции ВЕРОЯТНОСТЬ, применение которой рассмотрим на следующем примере.
Пример 6.23. В новогодней лотерее организации разыгрывается 1000 билетов. Из них падают выигрыши: на один билет - 500 руб.; на 10 билетов - по 100 руб.; на 50 билетов - по 20 руб.; на 100 билетов - по 5 руб.; остальные билеты невыигрышные. Сотрудник организации может взять только один билет. Найти вероятность выиграть: а) 20 руб.; б) не менее 20 руб.; в) не менее 100 руб.; г) от 5 до 100 руб. включительно.
Исходные данные и результат решения задачи с помощью функции ВЕРОЯТНОСТЬ приведены в табл. 6.9.
Табл.6.9
Содержимое ячеек в табл. 6.9:
ячейки D3:D7 содержат соответственно формулы =В3/СУММ(В3:В7)……....=В7/СУММ(В3:В7);
ячейка D8 содержит формулу = ВЕРОЯТНОСТЬ(С3:С7;D3:D7;20);
ячейка D9 содержит формулу = ВЕРOЯТНОСТЬ(С3:С7;D3:D7;20;500);
ячейка D10 содержит формулу = ВЕРOЯТНOСТЬ(С3:С7;D3:D7;100;500);
ячейка D11 содержит формулу = ВЕРOЯТНOСТЬ(С3:С7;D3:D7;5;100).
Перечислим другие дискретные распределения, реализованные в среде Microsoft Excel:
Функции гипергеометрического распределения
Функции распределения Пуассона