III. Важнейшие распределения случайных величин.

I. Дискретные случайные величины. Числовые характеристики ДСВ.

1. В партии из 10 деталей содержится 2 нестандартных. Наудачу отобраны 2 детали. С.в. X – число стандартных деталей среди двух отобранных. Найти: а) ряд распределения с.в. X, функцию распределения ; б) ;в) D(X); г) среднее число стандартных деталей среди двух отобранных.

2. Рабочий обслуживает два станка. Вероятность того, что за смену первый станок не сломается равна 0,9, второй – 0,8. С.в. X – число исправных станков. Найти: а) ряд распределения с.в. X, функцию распределения ; б) ; в) среднее число исправных станков;
г) .

3. Вероятность того, что аудитор допустит ошибку при проверке бухгалтерского баланса, равна 0,1. Аудитор проверяет 2 баланса. С.в. X – число правильных заключений на проверяемые 2 баланса. Найти: а) ряд распределения с.в. X, функцию распределения ; б) ; в) D(X).

4. Стрелок делает 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень равна 0,8. С.в. X – число попаданий по мишени при 3 выстрелах. Найти: а) ряд распределения с.в. X, функцию распределения ; б) ; в) среднее число попаданий при трех выстрелах; г) .

5. Дискретная с.в. X задана рядом распределения:

	-2	-1
	0,2	0,2	0,1	0,3	0,2

Найти: а) ; б) ; в) коэффициент асимметрии.

II. Непрерывные случайные величины. Числовые характеристики НСВ.

1. Задана функция:

Определить: а) при каком значении a функция будет функцией распределения некоторой с.в. X; б) f(x) – плотность вероятности с.в. X; в) ; г)

2. Задана функция:

Определить: а) при каком значении a функция будет функцией распределения некоторой с.в. X; б) f(x) – плотность вероятности с.в. X; в) ; г) .

3. Задана функция:

Определить: а) при каком с функция будет являться функцией плотности некоторой непрерывной с.в. X; б) функцию распределения с.в. X; в) ;
г) .

4. Задана плотность непрерывной случайной величины:

Найти: а) с; б) функцию распределения с.в. X; в) ; г) .

5. Задана плотность непрерывной случайной величины:

Найти: а) с; б) функцию распределения с.в. X; в) .

III. Важнейшие распределения случайных величин.

1. Среднее число попаданий в мишень в серии из n выстрелов равно 192. Вероятность попадания при каждом выстреле равна p; где с.в. X – число попаданий. Найти n и p.

2. Приобретено 20 билетов. С.в. X – число выигрышных билетов из 20. Вероятность выигрыша одного билета равна 0,15. Найти: а) среднее число невыигрышных билетов; б) D(X).

3. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,015. Сделано 600 выстрелов. Найти: а) среднее число попаданий в цель при 600 выстрелах; б) среднее число промахов при 600 выстрелах; в) вероятность того, что число попаданий не менее 7 и не более 9.

4. В магазин отправлены 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при погрузке бутылка окажется разбитой, равна 0,002. С.в. X – число разбитых бутылок в партии из 1000 бутылок. Найти: а) ; б) .

5. Игрок покупает лотерейные билеты до первого выигрыша. Вероятность выигрыша по одному билету равна 0,1. Найти среднее число купленных билетов, если игрок может купить: а) только 4 билета; б) неограниченное число билетов.

6. Математическое ожидание показательно распределенной случайной величины X равно Найти: а) D(X); б)

7. Известно, что время ремонта (количество дней) микроволновой печи есть с.в. T, распределенная по показательному закону; при этом среднее время ремонта телевизора составляет 2 недели. Найти: а) б) вероятность того, что на ремонт потребуется менее 10 дней.

8. Пусть случайная величина X распределена равномерно на отрезке [0;5]. Найти: а) функцию распределения ; б) ; в) .

9. Случайная величина X, распределенная равномерно, имеет следующие числовые характеристики: . Найти: а) ; б) ; в) .

10. Срок безотказной работы телевизора представляет собой с.в. Найти: а) ; б) ; в) D(X).

11. Прибыль некоторой отрасли имеет нормальный закон распределения со средним значением 12 млн. $ и с.к.о. 4 млн. $. Найти вероятность получить прибыль больше средней ожидаемой.

12. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение X контролируемого размера от номинала не превышает 10 мм. Точность изготовления деталей характеризуется с.к.о. равным 5. Считая, что с.в. X распределена нормально, выяснить, сколько процентов годных деталей изготавливает автомат.