Уравнения плоскости и прямой в пространстве
В пространстве каждая его точка 
(рис. 35) представляется тремя декартовыми координатами: абсциссой 
, ординатой 
и аппликатой 
(записывается 
). Точка также может быть задана своим радиус-вектором
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 35 |
|
|
|
|
|
,
проведенным из начала координат в эту точку.
Расстояние 
между точками пространства 
и 
;
координаты середины отрезка 
:
, 
Уравнение вида
или 
(26)
связывающее координаты 
, 
и 
точек пространства, называется уравнением поверхности 
, если:
a)
|
поверхности 
удовлетворяют этому уравнению (рис. 1.36);
b) координаты любой точки, не лежащей на поверхности 
, неудовлетворяют этому уравнению.
Уравнение (26) в общем случае задает в пространстве некоторое точечное множество, которое может быть и не поверхностью в пространстве.
Пример. Уравнение 
есть уравнение шара радиуса 
с центром в точке с координатами 
; уравнение 
не задает ни одной точки в пространстве (его решением является пустое множество).
Значения координат , , и 
, которые удовлетворяют системе уравнений двух поверхностей
определяют линию пересечения этих поверхностей. Если система не имеет решений, то поверхности не пересекаются.
|
|
|
|
| Рис. 37 |
|
– любой вектор, перпендикулярный данной плоскости 
(нормальный вектор плоскости), а 
– точка, через которую плоскость проходит (рис. 37). Любой вектор 
, проведенный из точки 
в произвольную точку плоскости 
, будет перпендикулярен вектору 
и, следовательно, их скалярное произведение 
, т. е.
.(27)
Полученное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку 
плоскости перпендикулярно заданному вектору . Оно первой степени относительно декартовых прямоугольных координат (линейно).
Уравнение (27) можно переписать в виде
или 
(28)
где 
. Это уравнение также линейно относительно координат и называется общим уравнением плоскости: при 
, 
и 
не равных нулю одновременно оно определяет плоскость с нормальным вектором . Обратно, каждую плоскость можно определить уравнением первой степени относительно декартовых прямоугольных координат вида (28).
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно плоскости 
.
◄ Так как искомая плоскость 
параллельна плоскости 
, для нее можно взять в качестве нормального вектора нормальный вектор плоскости : 
. Величину 
найдем из условия, что искомая плоскость проходит через точку , т. е. координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости: 
. Окончательно, искомое уравнение плоскости 
. ►
Особые случаи положения плоскости относительно системы координат, задаваемых общим уравнением (28):
1) 
плоскость 
, проходящая через начало координат;
2) 
плоскость 
параллельна оси 
(оси 
при 
, оси 
при 
);
3) 
плоскость 
параллельна координатной плоскости 
( 
при 
, 
при 
);
4) 
– уравнение координатной плоскости ( 
– , 
– ).
Уравнение плоскости в зависимости от решаемой задачи может быть задано в различных формах.
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 38 |
|
|
|
в точке 
, ось в точке 
и ось в точке 
(рис. 38) имеет уравнение (уравнение плоскости в отрезках)
. (29)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 39 |
|
|
|
|
– расстояние плоскости от начала координат (длина перпендикуляра 
, опущенного из начала координат на плоскость) (рис. 39), 
, 
, 
– направляющие косинусы нормального вектора : 
, длина 
, т. к. 
. Тогда уравнение плоскости имеет вид (нормальное уравнение плоскости)
. (30)
Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки 
, 
, 
, не лежащие на одной прямой, имеет вид
. (31)
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки 
, 
и 
.
◄ Подставляя координаты данных точек в формулу (31), будем иметь 
. Так как в полученном уравнении плоскости нет слагаемого с координатой 
, делаем вывод, что она параллельна оси 
. ►
Прямая в пространстве
Система двух линейных уравнений
| Рис. 40 |
|
|
|
|
(32)
определяет прямую 
как пересечение двух плоскостей 
и 
(рис. 40) при условии, что эти плоскости не параллельны 
. При 
(и только в этом случае) прямая проходит через начало координат.
|
|
|
|
|
|
|
| Рис. 1.41 |
|
|
|
|
Пример. Рассмотрим систему 
. Первое уравнение системы задает координатную плоскость 
, а второе – плоскость, параллельную оси 
. Пересечение этих плоскостей дает прямую линию, лежащую в координатной плоскости (рис. 41).
| Рис. 42 |
|
|
|
|
|
Если прямая проходит через точку 
параллельно вектору 
(направляющий вектор прямой), то из условия 
, где – вектор, проведенный из точки в произвольную точку прямой 
(рис. 42), получаем канонические уравнения прямой:
(33)
Уравнения прямой, проходящей через две точки 
и 
, следуют из (33), если в качестве направляющего вектора прямой взять вектор 
и одну из двух точек (все равно какую), через которые прямая проходит:
(34)
Направляющий вектор 
прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (системой (32)), может быть получен при помощи векторного произведения нормальных векторов 
и 
этих двух плоскостей:
. (35)
Обозначив в канонических уравнениях (33) отношение через 
( – переменный параметр), получаем параметрические уравнения прямой в пространстве:
(36).
Пример. Составить параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей и : 
.
◄ Направляющий вектор прямой найдем по формуле (35) при 
, 
: 
= 
. Произвольную точку, через которую проходит прямая, можно найти, положив одну из ее координат любому значению и решив затем получающуюся из исходной системы систему двух уравнений с двумя остающимися неизвестными координатами точки. Положив 
, получаем систему 
. Решение этой системы: 
, т. е. прямая проходит через точку с координатами 
. Подставив эти координаты и координаты направляющего вектора в (36), получаем искомые уравнения прямой: 
. ►
3 Линии (кривые) второго порядка на плоскости