Перечень вопросов для подготовки к экзамену
1. Определитель. Порядок определителя. Свойства определителей (доказательство свойств).
2. Минор. Алгебраическое дополнение.
3. Разложение определителя по строке и столбцу.
4. Матрицы. Классификация матриц.
5. Линейные операции на матрицах, их свойства.
6. Транспонирование матриц.
7. Произведение матриц.
8. Элементарные преобразования на матрицах.
9. Обратная матрица, ее свойства. Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.
10. Ранг матрицы. Метод нулей и единиц нахождения ранга матрицы.
11. Совместность системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
12. Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений.
13. Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
14. Векторы. Классификация векторов. Линейные операции над векторами, их свойства.
15. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис.
16. Декартова система координат.
17. Радиус-вектор точки. Координаты точки. Координаты вектора.
18. Направляющие косинусы вектора.
19. Длина вектора в координатах.
20. Деление отрезка в заданном отношении.
21. Проекция вектора на ось, ее свойства.
22. Скалярное произведение векторов, его свойства.
23. Физический смысл скалярного произведения векторов.
24. Выражение скалярного произведения векторов в координатной форме.
25. Векторное произведение векторов, его свойства.
26. Геометрический смысл векторного произведения векторов.
27. Физический смысл векторного произведения векторов.
28. Выражение векторного произведения векторов в координатной форме.
29. Смешанное произведение векторов, его свойства.
30. Геометрический смысл смешанного произведения векторов.
31. Выражение смешанного произведения векторов в координатной форме.
32. Общее уравнение прямой на плоскости.
33. Уравнение прямой на плоскости в отрезках.
34. Каноническое уравнение прямой на плоскости.
35. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.
36. Уравнение прямой на плоскости по точке и вектору нормали.
37. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом.
38. Угол между двумя прямыми на плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.
39. Плоскость. Общее уравнение плоскости.
40. Исследование уравнения плоскости.
41. Уравнение плоскости в отрезках.
42. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
43. Уравнение плоскости по точке и вектору нормали.
44. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
45. Параметрические уравнения прямой в пространстве.
46. Канонические уравнения прямой в пространстве.
47. Уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки.
48. Общие уравнения прямой в пространстве.
49. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
50. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
51. Кривые второго порядка: Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола.
52. Определения кривых второго порядка, канонические уравнения, построение линий.
Примерный вариант практических примеров для экзамена
1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее:
а) с помощью обратной матрицы (матричным методом)
б) методом Гаусса.
а) 
б) 
2. Решить СЛАУ: 
.
3. Решить СЛАУ: 
.
4. Даны две матрицы 
и 
.
Найти: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
; д) 
; е) 
матрицы А;
ж) 
матрицы В.
, 
.
5. Решить матричное уравнение: 
.
6. Вычислить 
- направляющий косинус вектора 
, если 
и 
.
7. Даны три точки А (-1; 0; 3), В (8; 2; -1), С(4; -2; 6).
Найти:
1) Проекцию вектора 
на вектор 
, т.е. 
;
2) Площадь rАВС;
3) Выяснить, будет ли вектор 
ортогонален вектору 
, если М - середина отрезка ВС.
4) Проверить, образуют ли векторы 
базис, и найти координаты вектора 
в этом базисе.
5) Правую или левую тройку образуют векторы 
.
6) Вычислить 
и 
, если 
и 
.
7) Перпендикулярны ли векторы 
и 
, если 
, 
, 
.
8. Найти 
, если 
, 
и 
.
9. Найти аппликату вектора ( 2k + 3j ) × i.
10. При каком действительном 
площадь треугольника с вершинами 
, 
, 
равна 
?
11. Дано: a = m – n, b = 2m + 3n, c = m – 2n, | m | = 1, | n | = 2, <( m, n ) = 2/3. Вычислить ( a + b ) · c.
12. Найти уравнение плоскости, параллельной плоскости 
, расположено на расстоянии равном 5 от неё.
13. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(3, -1, 2) и В(2,0, -1) перпендикулярно плоскости х-у+1=0.
14. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А(-1;2;3) параллельно прямой 
.
15. Определить тип кривой 
. Привести ее уравнение к каноническому виду. Сделать схематический чертеж.
16. Построить линию у2 – 2у + х = 0.
Примерный вариант билета
1. Проекция вектора на ось. Составляющие вектора.
2. При каком значении m векторы 
коллинеарны. Записать разложение вектора 
по составляющим.
3. Исследовать систему на совместность. Решить систему уравнений 
.
4. Силы 
и 
приложены к точке 
. Вычислить работу, совершаемую равнодействующей этих сил, когда ее точка приложения перемещается в положение 
.
5.
Дано:
| Найти:
|
6.
, найти обратную матрицу, если она существует, вычислить .
7. Найти длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах 
, 
, если 
, 
, 
.
8. Вывести канонические уравнения прямой в пространстве.
9. Определение эллипса. Основа уравнения эллипса.
10. Найдите точку пересечения прямой 
и плоскости 4х+у-6z-5=0.
11. Построить область, ограниченную указанными линиями: 
; 
; 
12. Составить уравнение окружности, диаметром которой служит отрезок прямой 3х+4у-12=0, заключенный между осями координат.