Нули, точки разрыва, точки пересечения графика с осями координат.

Поскольку данная функция элементарная и определена на всей числовой оси, то она непрерывна на всей числовой оси.

Для определения нулей функции решаем уравнение ; 2x+3=0; .

Интервалы знакопостоянства функции.

Функция может изменить знак только в одной точке . Определим интервалы знакопостоянства функции.

 

x
y - +

 

 

при .

при .

Найдем точки пересечения с осями:

y=3 при x=0, следовательно - точка пересечения с осью .

при , следовательно - точка пересечения с осью

 

Асимптоты графика функции.

А. Вертикальные асимптоты.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой оси, то вертикальных асимптот нет.

Б. Наклонные асимптоты.

Учитывая разное поведение функции при и при , будем искать асимптоты по отдельности для и .

.

.

Отметим, что во втором пределе присутствует неопределенность вида , которую мы обратили в неопределенность вида . Далее предел вычисляется по правилу Лопиталя, в соответствии с которым предел отношения при наличии неопределенности равен пределу отношения производных числителя и знаменателя. Итак, при график исследуемой функции имеет горизонтальную асимптоту, совпа­дающую с осью : y=0.

Выясним, существует ли наклонная асимптота при .

 

Поскольку коэффициент k не имеет конечного значения, делаем вывод о том, что график не имеет наклонной асимптоты при .

 

Интервалы возрастания, убывания функции. Точки экстремума.

Находим производную:

, при .

Точек разрыва производная не имеет. Определяем интервалы знакопостоянства первой производной и интервалы возрастания и убывания функции. Производная может изменить знак в един­ст­венной точке . Составляем таблицу.

x
y¢ + -
y  

 

Производная в точке меняет знак с плюса на минус. Следовательно точка является точкой максимума функции. Вычислим значение функции в этой точке. .

 

Выпуклость, вогнутость, точки перегиба графика функции.

Находим вторую производную

В области допустимых значений вторая производная точек разрыва не имеет. Вторая производная равна нулю при х= .

 

Определяем интервалы знакопостоянства второй производной и интервалы выпуклости и вогнутости функции. Результаты сводим в таблицу.

x
y¢¢ - +
y   Ç È

 

 

Вторая производная меняет знак в точке х= , следовательно эта точка является точкой перегиба. Вычислим значение функции в этой точке. Имеем .

На основании проведенного исследования строим график функции.

 

 

ПРИЛОЖЕНИЕ