Правила вычисления производных

Производная сложной функции.

Если у=ƒ(и), и=φ(х), то у¢(х)=ƒ¢(и)·φ¢ (х).

Производная суммы.

Если у(х)=и(х)+v (х), то у¢ (х)=и¢ (х)+v¢ (х)

Производная произведения.

Если у(х)=и(х)·v(х), то у¢=и¢·v+u·v¢.

В частности, (с·и)¢=с·и¢, т. е. постоянный множитель выносится из-под знака производной. Легко убедиться, что

(u2)¢=2u·u¢, (u3)¢=3u2·u¢, … , (un)¢=n·un–1·u¢.

 

Производная частного. Если , то .

 

Приведем и таблицу производных:

1. (с)¢=0 Для сложной функции: если и=и(х), то:  
2. (х)¢=1
3. (хα)¢=α·хα–1, а – любое действительное число. . 3.
4. (ах)¢=ах·ln а   4.
5. (logax)¢= . 5.
6. (sin x)¢=cos x 6.
7. (cos x)¢= –sin x 7.
8. (tg x)¢= 8.
9. (ctg x)¢= 9.
10. 10.
11. 11.
12. 12.
  13.   13.

При дифференцировании следующих функций укажем формулы и правила, которыми будем пользоваться.

Найти производные следующих функций.

 

Пример 1.

у=(3–2 sin5x)4 |Применяем формулы производных для иα, sin u|

y¢=4·(3–2·sin5x)3·(3–2sin5x)¢=4·(3–2·sin5x)3·(0–2·cos5x·5) = –40·(3–2·sin5x)3.

Пример 2.

.

Пример 3.

.

 

Пример 4.

 

 

Пример 5.

.

 

Пример 6.

 

Запишем функцию так, чтобы упростить процесс дифференцирования

 

.

 

Пример 7.

 

 

Пример 8.

 

 

Пример 9.

 

.

 

 

Пример 10.

 

Составить уравнение касательной к параболе у=х2–4х в точке, где х=1.

Уравнение касательной у-у0=ƒ¢(х0)·(х–х0), где х0, у0 – координаты точки касания.

Дано, что х0=1. Из уравнения параболы найдем у0=у(х0)=у(1)=12–4·1= –3.

Уравнение параболы у=х2–4х, т. е. ƒ(х)=х2–4х. Найдем ƒ¢(х0).

ƒ¢(х)=2х–4. ƒ¢(х0)=ƒ¢(1)=2·1–4= –2.

Уравнение касательной:

у+3= –2·(х–1) или 2х+у+1=0

Пример 11.

Дана кривая . Составить уравнения касательных к этой кривой, параллельных

а) оси Ох, б) прямой3х–у–5=0.

Найдем производную от у:

а) Если касательная параллельна оси Ох, то угловой коэффициент ее равен нулю, т. е. производная в точке х0 должна быть равна нулю: х2–4х+3=0. Решая это уравнение, находим х1=3 и х2=1. Найдем соответствующие им значения функции:

 

Получены две точки на данной кривой: М1(3, –3) и М2(1, ).

Касательные – прямые, проходящие параллельно оси Ох, имеют уравнения: у= –3 и у= .

б) Если касательная параллельна прямой 3х-у-5=0, то ее угловой коэффициент равен угловому коэффициенту данной прямой:

 

3х–у–5=0 или у=3х–5.

k=3.

Производная у¢ в точке х0 должна быть равна 3.

х2–4х+3=3. Решая это уравнение х2–4х=0, находим х1=0 и х2=4.

Найдем соответствующие им значения функции:

у1=у(0)= –3. у2=у(4)= ·43–2·42+3·4–3= – .

Уравнение касательной в точке М1(0,–3):

у+3=3·(х–0) или 3х–у–3=0.

Уравнение касательной в точке М2(4, – ):

или 9х–3у–41=0.

 

Дифференциал функции

Пусть функция у=ƒ(х) определена на множества Х и дифференцируема в каждой его точке.

Определение. Дифференциалом функции называется произведение

производной функции на приращение аргумента и

обозначается dy или dƒ(х), т. е.

dy=ƒ¢(x)·Δx

 

Пусть дана функция у=х. Тогда у¢=1. Дифференциал этой функции dy=1·Δx, т.е. dx=Δx.

Поэтому формулу дифференциала записывают в виде

 

dy=f¢(x)·dx

Отсюда , т. е. производная есть отношение дифференциалов функции и аргумента. Иногда удобно пользоваться именно таким «определением» производной.