Критические точки распределения Стьюдента
| Число степеней | Уровень значимости a(двусторонняя критическая область) | |||||
| свободы k | 0,10 | 0,05 | 0,02 | 0,01 | 0,002 | 0,001 |
| 6,31 | 12,7 | 31,82 | 63,7 | 318,3 | 637,0 | |
| 2,92 | 4,30 | 6,97 | 9,92 | 22,33 | 31,6 | |
| 2,35 | 3,18 | 4,54 | 5,84 | 10,22 | 12,9 | |
| 2,13 | 2,78 | 3,75 | 4,00 | 7,17 | 8,61 | |
| 2,01 | 2,57 | 3,37 | 4,03 | 5,89 | 6,86 | |
| 1,94 | 2,45 | 3,14 | 3,71 | 5,21 | 5,96 | |
| 1,89 | 2,36 | 3,00 | 3,50 | 4,79 | 5,40 | |
| 1,86 | 2,31 | 2,90 | 3,36 | 4,50 | 5,04 | |
| 1,83 | 2,26 | 2,82 | 3,25 | 4,30 | 4,70 | |
| 1,81 | 2,23 | 2,76 | 3,17 | 4,14 | 4,59 | |
| 1,80 | 2,28 | 2,72 | 3,11 | 4,03 | 4,44 | |
| 1,78 | 2,18 | 2,68 | 3,05 | 3,93 | 4,32 | |
| 1,77 | 2,16 | 2,65 | 3,01 | 3,85 | 4,22 | |
| 1,76 | 2,14 | 2,62 | 2,98 | 3,79 | 4,14 | |
| 1,75 | 2,13 | 2,60 | 2,95 | 3,73 | 4,07 | |
| 1,75 | 2,12 | 2,58 | 2,92 | 3,69 | 4,01 | |
| 1,74 | 2,11 | 2,57 | 2,90 | 3,65 | 3,96 | |
| 1,73 | 2,10 | 2,55 | 2,88 | 3,61 | 3,92 | |
| 1,73 | 2,09 | 2,54 | 2,86 | 3,58 | 3,88 | |
| 1,73 | 2,09 | 2,53 | 2,85 | 3,55 | 3,85 | |
| 1,72 | 2,08 | 2,52 | 2,83 | 3,53 | 3,82 | |
| 1,72 | 2,07 | 2,51 | 2,82 | 3,51 | 3,79 | |
| 1,71 | 2,07 | 2,50 | 2,81 | 3,49 | 3,77 | |
| 1,71 | 2,06 | 2,49 | 2,80 | 3,47 | 3,74 | |
| 1,71 | 2,06 | 2,49 | 2,79 | 3,45 | 3,72 | |
| 1,71 | 2,06 | 2,48 | 2,78 | 3,44 | 3,71 | |
| 1,71 | 2,05 | 2,47 | 2,77 | 3,42 | 3,69 | |
| 1,70 | 2,05 | 2,46 | 2,76 | 3,40 | 3,66 | |
| 1,70 | 2,05 | 2,46 | 2,76 | 3,40 | 3,66 | |
| 1,70 | 2,04 | 2,46 | 2,75 | 3,39 | 3,65 | |
| 1,68 | 2,02 | 2,42 | 2,70 | 3,31 | 3,55 | |
| 1,07 | 2,00 | 2,39 | 2,66 | 3,23 | 3,46 | |
| 1,66 | 1,98 | 2,36 | 2,62 | 3,17 | 3,37 | |
| Число степеней | 0,05 | 0,025 | 0,01 | 0,005 | 0,001 | 0,0005 |
| свободы k | Уровень значимости a(односторонняя критическая область) |
Приложение 6
Критические точки распределения Фишера-Снедекора
(К1 - число степеней свободы большей дисперсии,
К2 - число степеней свободы меньшей дисперсии)
| Уровень значимости a = 0,01 | ||||||||||||
 К1
К2
| ||||||||||||
| 98,49 | 99,01 | 90,17 | 99,25 | 99,33 | 99,30 | 99,34 | 99,36 | 99,36 | 99,40 | 99,41 | 99,42 | |
| 34,12 | 38,81 | 29,46 | 28,71 | 28,24 | 27,91 | 27,67 | 27,49 | 27,34 | 27,23 | 27,13 | 27,05 | |
| 21,20 | 18,00 | 16,69 | 15,98 | 15,52 | 15,21 | 14,96 | 14,80 | 14,66 | 14,54 | 14,45 | 14,37 | |
| 16,26 | 13,27 | 12,06 | 11,39 | 10,97 | 10,67 | 10,45 | 10,27 | 10,15 | 10,05 | 9,96 | 9,89 | |
| 13,74 | 10,92 | 9,78 | 9,15 | 8,75 | 8,47 | 8,26 | 8,10 | 7,98 | 7,87 | 7,79 | 7,72 | |
| 12,25 | 9,55 | 8,45 | 7,85 | 7,46 | 7,19 | 7,00 | 6,84 | 6,71 | 6,62 | 6,54 | 6,47 | |
| 11,26 | 8,65 | 7,59 | 7,01 | 6,63 | 6,37 | 6,19 | 6,03 | 5,91 | 5,82 | 5,74 | 5,67 | |
| 10,56 | 8,02 | 6,99 | 6,42 | 6,06 | 5,80 | 5,62 | 5,47 | 5,35 | 5,26 | 5,18 | 5,11 | |
| 10,04 | 7,56 | 6,55 | 5,99 | 5,64 | 5,39 | 5,21 | 5,06 | 4,95 | 4,85 | 4,78 | 4,71 | |
| 9,86 | 7,20 | 6,22 | 5,67 | 5,32 | 5,07 | 4,88 | 4,72 | 4,63 | 4,54 | 4,46 | 4,40 | |
| 9,33 | 6,93 | 5,95 | 5,41 | 5,06 | 4,82 | 4,65 | 4,50 | 4,39 | 4,30 | 4,22 | 4,16 | |
| 9,07 | 6,70 | 5,74 | 5,20 | 4,86 | 4,62 | 4,44 | 4,30 | 4,19 | 4,10 | 4,02 | 3,96 | |
| 8,86 | 6,51 | 5,56 | 5,03 | 4,69 | 4,46 | 4,28 | 4,14 | 4,03 | 3,94 | 3,86 | 3,80 | |
| 8,68 | 6,36 | 5,42 | 4,89 | 4,56 | 4,32 | 4,14 | 4,00 | 3,89 | 3,80 | 3,73 | 3,67 | |
| 8,53 | 6,23 | 5,29 | 4,77 | 4,44 | 4,20 | 4,03 | 3,89 | 3,78 | 3,69 | 3,61 | 3,55 | |
| 8,40 | 6,11 | 5,18 | 4,67 | 4,44 | 4,10 | 3,93 | 3,79 | 3,68 | 3,59 | 3,52 | 3,45 | |
Окончание приложения 6
| Уровень значимости a = 0,05 | ||||||||||||
 К1
К2
| ||||||||||||
| 18,51 | 19,00 | 19,16 | 19,25 | 19,30 | 19,33 | 19,36 | 19,37 | 19,38 | 19,39 | 19,40 | 19,41 | |
| 10,13 | 9,55 | 9,28 | 9,12 | 9,01 | 8,94 | 8,88 | 8,84 | 8,81 | 8,78 | 8,76 | 8,74 | |
| 7,71 | 6,94 | 6,59 | 6,39 | 6,26 | 6,16 | 6,09 | 6,04 | 6,00 | 5,96 | 5,93 | 5,91 | |
| 6,61 | 5,79 | 5,41 | 5,19 | 5,05 | 4,95 | 4,88 | 4,82 | 4,78 | 4,74 | 4,70 | 4,68 | |
| 5,99 | 5,14 | 4,76 | 4,53 | 4,39 | 4,28 | 4,21 | 4,15 | 4,10 | 4,06 | 4,03 | 4,00 | |
| 5,59 | 4,74 | 4,35 | 4,12 | 3,97 | 3,87 | 3,79 | 3,73 | 3,68 | 3,63 | 3,60 | 3,57 | |
| 5,32 | 4,46 | 4,07 | 3,84 | 3,69 | 3,58 | 3,50 | 3,44 | 3,39 | 3,34 | 3,31 | 3,28 | |
| 5,12 | 4,26 | 3,86 | 3,63 | 3,48 | 3,37 | 3,29 | 3,23 | 3,18 | 3,13 | 3,10 | 3,07 | |
| 4,96 | 4,10 | 3,71 | 3,48 | 3,33 | 3,22 | 3,14 | 3,07 | 3,02 | 2,97 | 2,94 | 2,91 | |
| 4,84 | 3,98 | 3,59 | 3,36 | 3,20 | 3,09 | 3,01 | 2,95 | 2,90 | 2,86 | 2,82 | 2,79 | |
| 4,75 | 3,88 | 3,49 | 3,26 | 3,11 | 3,00 | 2,92 | 2,85 | 2,80 | 2,76 | 2,72 | 2,69 | |
| 4,67 | 3,80 | 3,41 | 3,18 | 3,02 | 2,92 | 2,84 | 2,77 | 2,72 | 2,67 | 2,63 | 2,60 | |
| 4,60 | 3,74 | 3,34 | 3,11 | 2,96 | 2,85 | 2,77 | 2,70 | 2,65 | 2,60 | 2,56 | 2,53 | |
| 4,54 | 3,68 | 3,29 | 3,06 | 2,90 | 2,79 | 2,70 | 2,64 | 2,59 | 2,55 | 2,51 | 2,48 | |
| 4,49 | 3,63 | 3,24 | 3,01 | 2,85 | 2,74 | 2,66 | 2,59 | 2,54 | 2,49 | 2,45 | 2,42 | |
| 4,45 | 3,59 | 3,20 | 2,96 | 2,81 | 2,70 | 2,62 | 2,55 | 2,50 | 2,45 | 2,41 | 2,38 | |
Параметрические критерии значимости
Нулевая
гипотеза H 
| Дополнительные условия | Критерий проверки 
(критериальная
статистика)
| Используемое распределение | Конкур гип.
H 
| Критическая область и формулы для нахождения её границ | Гипотеза H не отвергается,
если
| |
: 
|
известно
| 
U  = 
| Нормальный закон Функция Лапласа |  > 
| ПКО |  
|
|
| <
| ЛКО | ||||||
| ДКО | 
| |||||
|
неизвестно
|
| Стьюдента с 
степенями свободы
| 
| ПКО | 
| 
|
| ЛКО | 
| 
| ||||
|
| ДКО | 
| 
| ||||
|
| 
| Нормальный закон Функция Лапласа | 
| ПКО | 
| 
|
| ЛКО | 
| |||||
| ДКО | 
| 
| ||||
|
|   
| 
| Стьюдента с  степенями свободы
|
| ПКО |
|
|
|
| ЛКО |
|
| ||||
|
| ДКО |
|
| ||||
 
|
|
|  распред. с
степенями свободы
| 
| ПКО | 
| 
|
| ЛКО | 
| 
| ||||
| ДКО | 
| 
|
|
Нулевая
гипотеза H
| Дополнительные условия | Критерий проверки
(критериальная
статистика)
| Используемое распределение | Конкур гип.
H
| Критическая область и формулы для нахождения её границ | Гипотеза H не отвергается,
если
| |
|
|
| F распред. с
степенями свободы
|
| ПКО |
|
|
| ДКО |
|
| ||||
|
 неизвестна
| 
| Нормальный закон Функция Лапласа | 
| ПКО |
| 
|
| ЛКО | 
| |||||
| ДКО |
|
| ||||
|
| 
| Нормальный закон Функция Лапласа |
| ПКО |
|
|
|
| ЛКО |
| |||||
|
| ДКО |
|
|
| СОДЕРЖАНИЕ | |
| 1. Элементы комбинаторики………………………………………………… | |
| 1.1. Размещения………………………………………………………………… | |
| 1.2 Понятие факториала……………………………………………………….. | |
| 1.3 Размещения с повторениями……………………………………………… | |
| 1.4 Сочетания…………………………………………………………………... | |
| 1.5 Сочетания с повторениями………………………………………………... | |
| 1.6 Перестановки………………………………………………………………. | |
| 1.7 Перестановки с повторениями………………………………………….… | |
| Задачи к теме 1…………………………………………………………………. | |
| 2. Элементы теории вероятностей…………………………………………. | |
| 2.1. Классификация событий. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности…………………………………………………………. | |
| 2.2. Правила сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события…………………………………………………….……. | |
| Задачи к теме 2…………………………………………………………………. | |
| 3. Формулы полной вероятности и Байеса………………………………… | |
| Задачи к теме 3…………………………………………………………………. | |
| 4. Дискретные случайные величины………………………………………. | |
| 4.1. Определение дискретной случайной величины…………………………. | |
| 4.2. Числовые характеристики………………………………..………………. | |
| 4.3. Математические операции над случайными величинами……………… | |
| 4.4. Распределение Бернулли и Пуассона………………………………….…. | |
| 4.5. Гипергеометрическое распределение……………………………………. | |
| Задачи к теме 4……………………………………………………………….… | |
| 5. Непрерывные случайные величины………………………………….… | |
| 5.1. Функции распределения и плотность распределения непрерывной случайной величины…………………………………………………………… | |
| 5.2. Нормальное распределение……………………………………………….. | |
| Задачи к теме 5…………………………………………………………………. | |
| 6. Вариационные ряды и их характеристики……………………………... | |
| 6.1. Понятие вариационного ряда. Виды вариационных рядов………….…. | |
| 6.2. Числовые характеристики вариационного ряда…………………………. | |
| Задачи к теме 6…………………………………………………………………. | |
| 7. Выборочный метод и статистическое оценивание…………………….. | |
| 7.1. Основные понятия и определения выборочного метода………………... | |
| 7.2. Статистическое оценивание………………………………………………. | |
| 7.3. Ошибки выборки…………………………………………………………... | |
| 7.4. Определение численности (объема) выборки…………………………… | |
| 7.5. Интервальное оценивание………………………………………………… | |
| Задачи к теме 7…………………………………………………………………. | |
| 8. Проверка статистических гипотез……………………………………….. | |
| Задачи к теме 8…………………………………………………………………. | |
| Литература……………………………………………………………………... | |
| Приложения……………………………………………………………………. | 113 |
Приложение 1. Таблица значений функции  ………….
Приложение 2. Таблица значений функции  (функция Лапласа)…………………………………..
Приложение 3. Таблица значений функции Пуассона:  ………………………………………...…….
Приложение 4. Критические точки распределения c2……………………
Приложение 5. Критические точки распределения Стьюдента………...
Приложение 6. Критические точки распределения Фишера-Снедекора………………………………………………………………….……
| |
| Параметрические критерии значимости | |
Задание для самостоятельной работы по теории вероятностей и математической статистике
Учебное пособие
Ниворожкина Людмила Ивановна
Морозова Зоя Андреевна
Герасимова Ирина Алексеевна
Житников Игорь Васильевич
Федосова Оксана Николаевна
Лицензия ЛР № 020276 от 18.02.97 Государственного комитета Российской Федерации по печати
Ответственная за выпуск
Начальник РИО РГЭУ В.Е. Смейле
Изд.№ Подписано к печати Бумага офсетная
Печать офсетная Формат 60*84/16 Объем уч.-изд.л.
Заказ № Тираж 500 экз. “С”
344000, г. Ростов – на - Дону, ул. Б. Садовая,69. РГЭУ. РИО
Отпечатано в КМЦ “Копицентр”. 344006, г. Ростов – на – Дону, ул.Суворова,19
[1] Выводы формул для числа размещений, а в последующем изложении - для числа сочетаний, - опускаются. Их можно найти в курсе элементарной алгебры.
[2] В учебниках по математической статистике вместо термина “статистическая совокупность” используется термин “набор данных”, а вместо термина “единица совокупности” используется термин “элемент выборки”.
[3] Для того, чтобы любые статистики служили хорошими оценками параметров генеральной совокупности, они должны обладать рядом свойств: несмещённости, эффективности, состоятельности, достаточности. Всем указанным свойствам отвечает выборочная средняя. s2выб. -смещённая оценка. Для устранения смещения при малых выборках вводится поправка n¤ n-1 (cм. 7.1.).
[4] В литературе ( 1 - n /N ) иногда называется "поправкой на бесповторность отбора".
[5] Для нормально распределенной случайной величины а. Поэтому справедливо: .
[6] В этой работе рассматриваются первые два типа гипотез.
[7] Эти гипотезы часто называют параметрическими, тогда как все остальные - непараметрическими.