Уравнение плоскости в пространстве
Общее уравнение плоскости: 
,
где A, B, C – координаты вектора нормали вектора 
(любого вектора, перпендикулярного данной плоскости), D – свободный член уравнения.
Уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
:
. (48)
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки
:
. (49)
Угол 
между двумя плоскостями, заданными уравнениями 
и 
определяется как угол между векторами их нормалей 
и 
или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), то есть
. (50)
Уравнения прямой в пространстве
Параметрические уравнения прямой l в пространстве:
(51)
где 
– фиксированная точка прямой; 
– направляющий вектор прямой l, т. е. любой вектор, параллельный l; t – числовой параметр.
Каждому значению параметра 
соответствует единственная точка прямой l.
Канонические уравнения прямой:
. (52)
Уравнения прямой, проходящей через две данные точки 
и 
:
. (53)
Углом 
между прямыми называют угол между их направляющими векторами 
= {m1; n1; p1} и 
= {m2; n2; p2}, или дополнительный к нему (обычно берется острый угол), т. е.
. (54)
Углом между плоскостью и прямой l (в случае их пересечения) называется угол между прямой и её проекцией на плоскость. Синус угла 
между плоскостью и прямой определяется по формуле:
. (55)
Примерный вариант и образец выполнения
контрольной работы № 2
Задача 1. Даны многочлен f(x) и матрица А:
Требуется найти значение матричного многочлена f (A).
Задача 2. Дана система трех линейных алгебраических уравнений
с тремя неизвестными: 
Требуется:
1) записать систему в матричном виде;
2) найти решение системы с помощью формул Крамера;
3) решить систему при помощи обратной матрицы.
Задача 3. Даны координаты трех векторов: 
и вектор 
:
, 
.
Требуется:
1) вычислить модуль вектора 
;
2) найти координаты вектора ;
3) найти угол φ между векторами и 
;
4) вычислить проекцию вектора 
на направление вектора ;
5) вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и ;
6) вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .
Задача 4. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD:
Требуется:
1) вычислить длину ребра AB;
2) найти уравнение плоскости грани ABC;
3) найти угол между гранями ABC и BCD;
4) составить параметрические уравнения прямой AB;
5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;
6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;
7) найти угол 
между ребрами AB и BC;
8) найти угол 
между ребром AD и гранью ABC;
9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.
Решение задачи 1
Записываем матричный многочлен: 
Здесь Е – единичная матрица той же размерности, что и А, т. е. 3-го порядка.
Найдем матрицу A2. При умножении матрицы A на себя используем правило "строка на столбец" (формула (23)):
A2 = A·A = 
Найдем матрицу 2Е, используя правило умножения матрицы на число (формула (21)):
E = 
Теперь найдем значение матричного многочлена f(A),используя правило умножения матрицы на число и правило сложения матриц (формула (22)):
Ответ: 
Решение задачи 2
1) Запишем систему в матричном виде:
, или AX = B,
где 
(Во втором уравнении системы отсутствует неизвестная х3, т. е. а23 = 0).
2) Решим систему с помощью формул Крамера. Для этого по формулам (29) составляем главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений и три вспомогательных определителя:
Вычислим эти определители, используя формулу (25):
Так как ∆ ≠ 0, то данная система имеет единственное решение.
Найдем решение системы по формулам Крамера (30):
3) Решим систему при помощи обратной матрицы.
a) Определитель 
следовательно, обратная матрица существует.
б) Чтобы найти союзную матрицу 
к матрице А, необходимо вычислить по формулам (26) алгебраические дополнения всех ее элементов:
Здесь определители 2-го порядка вычислены по формуле (24).
Тогда союзная матрица (см. формулу (31)): 
в) Найдем обратную матрицу по формуле (32):
г) Получим решение системы при помощи обратной матрицы по формуле (33) (правило "строка на столбец"):
.
Решение, полученное матричным способом, совпадает с тем, которое получено по формулам Крамера, что подтверждает правильность этого решения.
Ответы:
1) система в матричном виде: AX = B, где
;
2) решение системы, полученное с помощью формул Крамера:
;
3) решение системы, полученное при помощи обратной матрицы:
.
Решение задачи 3
1) Модуль вектора вычисляется по формуле (35):
.
2) Чтобы найти координаты вектора 
, используем формулы (38) и (39):
тогда 
3) Косинус угла между векторами и найдем по формуле (41):
.
Для этого вычислим скалярное произведение и по формуле (40): 
= –2∙0 + 2∙(–3) + (–1)∙4 = –10, затем модуль вектора :
, тогда 
и 
4) Проекцию вектора на направление 
вычислим по формуле (42):
5) Площадь треугольника, построенного на векторах и найдем по формуле (44). Для этого сначала находим векторное произведение этих векторов по формуле (43):
Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах и :
(кв. ед.).
6) Для вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах 
находим смешанное произведение векторов по формуле (45):
тогда объема параллелепипеда по формуле (47): 
.
Ответы:
1) модуль вектора : 
2) координаты вектора 
: 
3) угол между векторами и : 
4) проекция вектора на направление вектора : 
5) площадь треугольника, построенного на векторах и : 
(кв. ед.);
6) объем параллелепипеда, построенного на векторах 
:
(куб. ед.).
Решение задачи 4
1) Длину ребра 
найдем по формуле (36):
2) Чтобы получить уравнение плоскости грани ABC, необходимо найти вектор, перпендикулярный плоскости ABC, т. е. вектор, перпендикулярный векторам 
и 
. Одним из таких векторов является векторное произведение 
на . Для того, чтобы найти его, сначала вычислим координаты векторов по формуле (37):
= {–3–(–2); 2–1; –1–1} = {–1; 1; –2},
= {7; –3; –3}.
Векторное произведение 
и найдем по формуле (43):
В качестве вектора нормали к плоскости ABC можно взять любой вектор, коллинеарный полученному, например, 
= {9; 17; 4}. Используем уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно вектору 
(формула (48): 
– уравнение плоскости грани ABC.
3) Прежде, чем найти угол 
между гранями ABC и BCD, получим уравнение грани BCD, используя уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 
(формула (49):
– уравнение грани BCD.
Из уравнения плоскости BCD возьмем координаты вектора нормали 
, перпендикулярного этой плоскости: ={3; 7; –4}.
Косинус угла между плоскостями (гранями) ABC и BCD найдем
по формуле(50):
Отсюда 
.
4) Уравнения ребра AB можно записать как параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(–2; 1; 1) и имеющей направляющий вектор 
= {–1; 1; –2} (формулы (51)):
– параметрические уравнения AB.
Другой способ: можно использовать уравнения прямой, проходящей через две точки 
(формулы (53)):
откуда, обозначив каждую из дробей t, получаем:
– параметрические уравнения AB.
5) Высота пирамиды DK – это прямая, проведенная из вершины D перпендикулярно грани ABC. Она имеет направляющий вектор 
, коллинеарный вектору нормали плоскости ABC. Можно взять, например, 
= 
= {9; 17; 4}. Запишем канонические уравнения высоты DK, используя точку D(–1; 0; –3)
и вектор = {9; 17; 4} (формулы (52)):
– канонические уравнения DK.
6) Прежде, чем найти точку пересечения DK и грани ABC, получим параметрические уравнения прямой DK. Обозначив каждую из дробей
в канонических уравнениях буквой t, получаем:
– параметрические уравнения DK.
Точка пересечения DK и грани ABC (точка К) лежит на прямой, а значит, имеет координаты 
, и принадлежит плоскости, т. е. ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости ABC. Поэтому координаты точки K найдем, решив систему:
Решим последнее уравнение относительно t:
Вычислим координаты точки K, подставив найденное значение параметра в первые три уравнения системы:
Итак, точка пересечения DK и грани ABC: 
.
7) Угол между ребрами AB и BC найдем, как угол между на-
правляющими векторами прямых AB и BC: = {–1; 1; –2}
и 
= {8; –4; –1}. Найдем косинус угла
по формуле(54):
Тогда угол между ребрами AB и BC: 
8) Чтобы определить угол между ребром AD и гранью ABC, найдем направляющий вектор прямой: 
= {1; –1; –4}. Плоскость ABC имеет вектор нормали = {9; 17; 4}. Синус угла 
между прямой 
и плоскостью ABC можно вычислить по формуле (55):
 |
Тогда угол между ребром AD и гранью ABC:
9) Выполним чертеж пирамиды в системе координат (рис. 19).
Ответы:
1) 
2) АВС: 
3) ;
4) 
5) DK: 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) чертеж пирамиды на рис. 19.
Варианты контрольнЫХ работ
Каждый вариант контрольной работы № 1 для студентов-заочников
1 курса всех специальностей содержит 5 задач, охватывающих материал по теме "Аналитическая геометрия на плоскости". Каждый вариант контрольной работы № 2 содержит 4 задачи по темам "Элементы линейной алгебры. Аналитическая геометрия в пространстве".
Перед выполнением каждой контрольной работы студенту необходимо изучить теоретический материал по данной теме и закрепить его решением рекомендованных задач в соответствии с методическими указаниями, затем ознакомиться со справочным материалом и образцом выполнения примерного варианта контрольной работы.
Задания для всех вариантов общие; студенту следует выбрать из условия каждой задачи данные, необходимые для ее решения, в соответствии со своим вариантом. Оформление контрольных работ должно соответствовать установленным правилам и требованиям. Необходимые чертежи должны выполняться четко, с соответствующими подписями и комментариями (см. образец выполнения примерного варианта работы).
Варианты контрольной работы № 1
Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС.
| Номер варианта | Координаты точек | Номер варианта | Координаты точек |
| А(–2; –3), В(2; 7), С(6; –1) | А(3; –3), В(–4; 1), С(–2; 5) | ||
| А(–5; 1), В(6; 3), С(–4; –7) | А(3; 5), В(–2; 2), С(2; –4) | ||
| А(4; 5), В(–3; 2), С(5; –4) | А(–2; 4), В(5; 6), С(3; –4) | ||
| А(7; –7), В(1; 2), С(–5; –4) | А(3; 7), В(–4; 1), С(–2; –5) | ||
| А(–3; 4), В(4; 5), С(8; –3) | А(4; 3), В(–3; –2), С(–7; 2) |
Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение стороны ВС;
3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;
4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А;
5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан);
6) сделать чертеж в системе координат.
Задача 2. Даны координаты точки А, уравнение прямой l и число λ.
| Номер варианта | Координаты точки | Уравнение прямой l | Число λ | Номер варианта | Координаты точки | Уравнение прямой l | Число λ |
| А(–1; 0) | y + 2 = 0 | 1 : 1 | А(–5; 1) | x + 1 = 0 | 1: 1 | ||
| А(3; 1) | 3x = 16 | 3 : 4 | А(5; –4) | 5x = 1 | 5 : 1 | ||
| А(3; 0) | x = 0 | 2 : 1 | А(1; 0) | 2x = 7 | 2 : 3 | ||
| А(2; 0) | 4x = 1 | 4 : 3 | А(1; 2) | x = 4 | 1 : 2 | ||
| А(0; 0) | 2x + 5 = 0 | 2 : 3 | А(3; 2) | 3x = 1 | 3 : 1 |
Найти уравнение траектории точки М, которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояний до точки А и до прямой l равно λ. Сделать чертеж в системе координат.
Задача 3. Дано уравнение кривой 2-го порядка.
| Номер варианта | Уравнение кривой | Номер варианта | Уравнение кривой |
| 7x2 – 9y2 + 42x+ 18y – 9 = 0 | 9x2 + 4y2 – 54x + 8y + 49 = 0 | ||
| x2 + 2x – 12y + 37 = 0 | x2 – 10x + 4y + 17 = 0 | ||
| 5x2 + 9y2 + 10x – 54y + 41 = 0 | 3x2 – y2 – 30x – 2y + 62 = 0 | ||
| y2 + 6x + 6y – 3 = 0 | y2 – 8x – 4y – 4 = 0 | ||
| 5x2 – 4y2 – 20x – 24y – 36 = 0 | 7x2 + 16y2 – 56x + 64y + 64 = 0 |
Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.
Задача 4. Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой.
| Номер варианта | Уравнение кривой | Уравнение прямой |
| x2 + 2y2 – 2x + 8y + 3 = 0 | x + 2y + 3 = 0 | |
| x2 – 2y2 + 4x + 4y – 6 = 0 | x + 2y = 0 | |
| x2 + 6x – 16y + 25 = 0 | x – 4y + 15 = 0 | |
| x2 + 4y2 – 6x + 8y + 5 = 0 | x – 2y – 5 = 0 | |
| y2 – 4x – 6y – 15 = 0 | 2x + y – 3 = 0 | |
| x2 – 5y2 + 10x + 20y – 15 = 0 | x – 5y + 15 = 0 | |
| x2 + 4y2 + 2x – 32y + 45 = 0 | x – y + 5 = 0 | |
| x2 – 4x + 8y + 44 = 0 | x – 2y – 20 = 0 | |
| 2x2 – y2 – 16x – 6y + 19 = 0 | x – y – 7 = 0 | |
| y2 + 10x + 8y – 34 = 0 | 2x + y + 4 = 0 |
Требуется:
1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду;
2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой;
3) построить обе линии в исходной системе координат.
Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК).
| Номер варианта | Уравнение кривой | Номер варианта | Уравнение кривой |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Требуется:
1) найти область определения функции 
;
2) построить кривую в ПСК, вычислив значения функции в точках 
, принадлежащих области определения функции 
;
3) найти уравнение заданной кривой в декартовой системе координат (ДСК), начало координат в которой совпадает с полюсом ПСК, а положительная полуось ОХ – с полярной осью ОР;
4) определить тип кривой.
Варианты контрольной работы № 2
Задача 1. Даны многочлен f(x) и матрица А.
| Номер варианта | Многочлен f(x) | Матрица А |
| 
| |
| 
|
Окончание таблицы
| Номер варианта | Многочлен f(x) | Матрица А |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
Требуется найти значение матричного многочлена 
.
Задача 2. Дана система трех линейных алгебраических уравнений
с тремя неизвестными.
| Номер варианта | Система уравнений | Номер варианта | Система уравнений |
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Требуется:
1) записать систему в матричном виде;
2) найти решение системы с помощью формул Крамера;
3) решить систему при помощи обратной матрицы.
Задача 3. Даны координаты трех векторов 
и вектор 
.
| Номер варианта | Векторы 
| Вектор 
|
| 
| |
| 
| |
| 
|
Окончание таблицы
| Номер варианта | Векторы
| Вектор
|
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
| |
| 
|
Требуется:
1) вычислить модуль вектора 
;
2) найти координаты вектора ;
3) найти угол φ между векторами и ;
4) вычислить проекцию вектора на направление вектора ;
5) вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и ;
6) вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах .
Задача 4. Даны координаты точек – вершин пирамиды ABCD.
| Номер варианта | Координаты точек |
| А(1; 2; –1), В(0; 0; 1), С(1; –3; 3), D(2; –1; –1) | |
| А(7; 2; 4), В(7; –1; –2), С(3; 3; 1), D(4; 2; 1) | |
| А(1; 3; 6), В(2; 2; 1), С(–1; 0; 1), D(–4; 6; –3) | |
| А(–2; 0; –4), В(–1; 7; 1), С(4; –8; –4), D(1; –4; 6) | |
| А(1; 2; 0), В(3; 0; –1), С(5; –2; 3), D(3; 2; –1) | |
| А(–1; 1; 2), В(2; 1; –2), С(–2; 0; 4), D(2; –1; 2) | |
| А(4; 2; 5), В(2; –3; 0), С(–10; 5; 8), D(–5; 2; 4) | |
| А(2; –1; 1), В(–1; –3; 2), С(–2; 3; 1), D(–1; 2; –3) | |
| А(–1; 1; 2), В(–2; 0; 3), С(3; 6; –3), D(–1; –2; 7) | |
| А(4; –1; 3), В(–2; 1; 0), С(0; –5; 1), D(–2; 1; –1) |
Требуется:
1) вычислить длину ребра AB;
2) найти уравнение плоскости грани ABC;
3) найти угол между гранями ABC и BCD;
4) составить параметрические уравнения прямой AB;
5) составить канонические уравнения высоты пирамиды DK, проведенной из вершины D;
6) найти координаты точки пересечения DK и грани ABC;
7) найти угол 
между ребрами AB и BC;
8) найти угол между ребром AD и гранью ABC;
9) сделать чертеж пирамиды в системе координат.
Рекомендуемая литература
1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. – М. : Айрис-пресс, 2003. – 288 с.
2. Щипачев, В.С. Высшая математика : учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М. : Высш. шк., 1998. – 479 с.
3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1
/ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М. : Высш. шк., 1999. – 304 с.
4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев. – М. : Высш. шк., 2001. – 304 с.
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, т. 2; 95 3004 – воспитательная, образовательная и педагогическая литература
 |
Издательство МГТУ. 183010 Мурманск, Спортивная, 13.
Сдано в набор 14.09.2007. Подписано в печать 18.09.2007. Формат 60´841/16.
Бум. типографская. Усл. печ. л. 2,79. Уч.-изд. л. 2,18. Заказ 443. Тираж 300 экз.