Разрыв 1-го рода (скачок).

Если , .

Вопрос о значении функции в точке в этом случае не обсуждается, это не имеет смысла, так как всё равно предел не существует, то есть непрерывности быть не может.

Пример. .

Односторонние пределы для этой функции таковы:

= = , т.к. если и при этом то .

= = , т.к. если и при этом то .

 

Пример. . Здесь при любом верно , а при любом верно . В точке 0 односторонние пределы различны.

Разрыв 2-го рода.

Если хотя бы один из односторонних пределов не существует или , точка называется точкой разрыва 2-го рода.

Примеры точка разрыва

точки разрыва 2 и 3.

. Оба односторонних предела равны , разрыв именно 2 рода а не устранимый, несмотря на совпадение, ведь здесь не конечные числа, а бесконечность. Поэтому нет такой точки вида (0,С) на какой-лиоб конечной высоте, чтобы эта точка устраняла разрыв.

. Предел слева равен 0, справа . График:

 

 


ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.

Введение, основные методы.

Возьмём две соседние точки на графике некоторой функции. Разность их абсцисс обозначим , а разность ординат . Если соединить точки, то получим прямоугольный треугольник, его катеты это именно и .

Если сближать точки, то можно заметить, что катеты и уменьшаются, но угол, в общем случае, не уменьшается к нулю, а стабилизируется. То есть, существует предел равный некоторому числу. На этом и основана вся тема, которую мы сейчас будет изучать.

 

Определение 1.

Производной называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, т.е. .

В других обозначениях это же самое можно записать так:

Геометрический смысл.Так как соотношение это тангенс угла наклона секущей, но секущая в пределе стремится к касательной, то производная равна тангенсу угла наклона касательной в графику в точке.

Для векторной функции физический смысл - скорость. Если дано , то вектор это скорость. Этот вектор направлен по касательной к траектории.

Скорость - векторная величина, а скалярная «скорость» измеряемая в км/ч, показываемая в спидометрах на транспорте, это на самом деле - МОДУЛЬ скорости.

 

Примеры производных для некоторых известных функций.

в частности .

Докажем, например, что производная для 2-й степени вычисляется именно по этой формуле.

По определению, для этой функции надо записать так:

преобразуем: = = = .

Итак, .

 

Кстати, тот факт что не просто кем-то введено произвольно, а тоже можно доказать: если то = = = 1.

 

Аналогично, например, доказывается .

= = =

= = .

Докажем, что . = = Так как следующие бесконечно малые эквивалентны: то получим, заменяя на эквивалентную: = .

 

Определение 2.

Функция f называется дифференцируемой в точке , если приращение функции можно представить в виде: , где - бесконечно малая более высокого порядка, чем 1-й.

 

Действительно, бывают не дифференцируемые функции, например не дифф. в нуле. Дело в том, что там нет общей касательной для двух частей графика, правой и левой. Какую бы прямую мы ни провели через (0,0), она не будет касательной к графику функции. Если наклон +450 то есть то разность между ней и левой половиной графика не будет бесконечно-малой: эта прямая является касательной к одной части графика, то она перпендикулярна другой ветви этого же графика.

 

Взаимосвязь понятий «дифференцируемость» и «производная».

 

Теорема. Если f есть функция одной переменной, т.е. , то существует конечная производная в точке функция дифференцируема в точке .

 

Доказательство. Необходимость.

Пусть существует производная в точке, . Докажем, что функция дифференцируема. Если равен числу , то сама эта функция, которая под знаком предела, представима в виде: это число + какая-то бесконечно малая. .

Если домножить на то . Здесь обозначим , причём эта

более высокого порядка, ведь на уже существующую бесконечно-малую домножается ещё одна, а именно , т.е. порядок возрастает на 1. Получили . Определение дифференцируемости выполняется.

Достаточность. Пусть f дифференцируема. Выполняется равенство . Разделим его на : получим . Перейдём к пределу. .

Но ведь - бесконечно малая более высокого порядка, то есть там содержится не в первой, а какой-то более высокой степени. Тогда . Осталось . Заодно доказали, что константа А в этом равенстве - это и есть производная в точке, то есть .

Замечание. В одном из прошлых примеров, а именно , элемент это и есть та самая бесконечно малая более высокого порядка . Здесь она содержит 2 и 3 степени, и как видно, даже после деления на она станет , то есть содержит в каждом слагаемом хоть какие-то степени от , и поэтому стремится к 0.

 

Лекция № 12. 25. 11. 2016

Лекция № 13. 02. 12. 2016

Лекция № 14. 09. 12. 2016

Лекция № 15. 16. 12. 2016

Лекция № 16. 23. 12. 2016