Методы раскрытия неопределенностей

Теория пределов

Определение

Число А называется пределом функции в точке , если для сколь угодно малого найдется число такое, что при выполняется .

Читается следующим образом:

«Число А называется пределом функции эф от икс в точке икс равное а, если для сколь угодно малого положительного эпсилон найдется число дельта, зависящее от эпсилон, такое, что при модуле разности икс и а меньше дельта выполняется неравенство модуль разности эф от икс и А меньше эпсилон».

Свойства пределов

, некоторое число. «предел от константы равен самой константе»
«константу можно выносить за знак предела»
«предел от суммы равен сумме пределов»

Аналогичное свойство для разности, произведения, частного и т.д.

, ,

Правило , где некоторое число. Например

Представьте, что Вам необходимо раздать (разделить) одно яблоко огромному (бесконечному) числу людей. В конце концов, от яблока ничего не останется, т.е. нуль.

Следствием этого правила является равенство ( в теории пределов на нуль делить можно)

Вычисление пределов

1. Вычисление предела начинают с подстановки в функцию значения

1.1 Пусть ,

Если Вы получили число, не важно какое: большое или маленькое, целое или дробное, отрицательное или положительное; то это число и является ответом.

1.2 Пусть ,

Бесконечность также может являться ответом.

Рассмотрим пример

В данном случае мы получили неопределенность.

Основные типы неопределенностей

В случае получения неопределенности необходимо ее раскрыть с помощью некоторого метода.

Методы раскрытия неопределенностей

2. Деление на наивысшую степень

2.1. В данном выражении наивысшая степень х равна 3, следовательно, разделим и числитель и знаменатель на .

2.2. В данном случае разделим и числитель и знаменатель на , т.к. наивысшая степень х равна 5.

3. Разложение на множители

Для того, чтобы разложить многочлен на множители необходимо знать формулы сокращенного умножения и уметь делить многочлен на многочлен.

3.1. Воспользуемся формулой

3.2. Разделим многочлены в числителе и в знаменателе на (х-2)

Таким образом получим

4. Домножение на сопряженное выражение или дополнение до формул сокращенного умножения

Пусть имеется выражение , тогда сопряженным выражением будет

4.1 Домножим и числитель и знаменатель на сопряженное выражение числителя

теперь числитель можно упростить по формуле сокращенного умножения Получим

После того как произвели сокращение множителей вновь подставляем х=7

Итак получили

4.2 Домножим числитель и знаменатель на , чтобы воспользоваться формулой

Теперь подставим х=8

4.3. Домножим выражение

Применим способ делении на наивысшую степень

5. Первый замечательный предел

В этом методе необходимо заданный предел привести к виду первого замечательного предела

5.1. Домножим числитель и знаменатель на 6

5.2. Воспользуемся формулой

6. Второй замечательный предел

этот предел имеет неопределенность

В этом методе необходимо заданный предел привести к виду второго замечательного предела

6.1.

Для того чтобы данный предел имел вид второго замечательного предела в степени должно быть .

теперь выделим второй замечательный предел и получим

Итак,

6.2 добавим в степень множитель

, т.к. получим

Итак ответ,

6.3

, тогда

Т.к. получим Применяя метод деления на наивысшую степень получим

Ответ