Одноканальная СМО с отказами
Системы массового обслуживания с отказами
Простейшей из всех задач теории массового обслуживания является модель одноканальной СМО с отказами (потерями).
При этом система массового обслуживания состоит только из одного канала 
и на нее поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью 
, зависящей, в общем случае, от времени:
Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему. Обслуживание заявки продолжается в течение случайного времени 
, распределенного по показательному закону с параметром 
:
(5.35)
Из этого следует, что «поток обслуживания» — простейший, с интенсивностью . Чтобы представить себе этот поток, вообразим один непрерывно занятый канал, который будет выдавать обслуженные заявки потоком с интенсивностью .
Требуется найти:
1)абсолютную пропускную способность СМО 
;
2)относительную пропускную способность СМО 
.
Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему 
, которая может находиться в одном из двух состояний: 
— свободен, 
— занят.
ГСП системы показан на рис. 5.6, а.
Рис. 5.6. ГСП для одноканальной СМО с отказами (а); график решения уравнения (5.38) (б)
Из состояния в систему, очевидно, переводит поток заявок с интенсивностью ; из в — «поток обслуживания» с интенсивностью .
Вероятности состояний: 
и 
. Очевидно, для любого момента t:
. (5.36)
Составим дифференциальные уравнения Колмогорова для вероятностей состояний согласно правилу, данному выше:
(5.37)
Из двух уравнений (5.37) одно является лишним, так как 
и 
связаны соотношением (5.36). Учитывая это, отбросим второе уравнение, а в первое подставим вместо 
выражение 
:
Или
(5.38)
Поскольку в начальный момент канал свободен, уравнение следует решать при начальных условиях: 
, 
.
Линейное дифференциальное уравнение (5.38) с одной неизвестной функцией 
легко может быть решено не только для простейшего потока заявок 
, но и для случая, когда
интенсивность этого потока со временем меняется.
Для первого случая решение есть:
Зависимость величины от времени имеет вид, изображенный на рис. 5.6, б. В начальный момент (при 
) канал заведомо свободен ( ). С увеличением 
вероятность уменьшается и в пределе (при 
) равна 
. Величина, дополняющая до единицы, изменяется так, как показано на том же рисунке.
Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность есть не что иное, как относительная пропускная способность 
. Действительно, есть вероятность того, что в момент 
канал свободен, или вероятность того, что заявка, пришедшая в момент , будет обслужена. Следовательно, для данного момента времени среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно 
.
В пределе, при , когда процесс обслуживания уже установится, предельное значение относительной пропускной способности будет равно:
Зная относительную пропускную способность , легко найти абсолютную 
. Они связаны очевидным соотношением:
.
В пределе, при , абсолютная пропускная способность тоже установится и будет равна
Зная относительную пропускную способность системы (вероятность того, что пришедшая в момент заявка будет обслужена), легко найти вероятность отказа:
или среднюю часть необслуженных заявок среди поданных. При 
