Большое каноническое распределение в классической статистической теории.
При рассмотрении канонического распределения Гиббса предполагалось, что подсистема обменивается с термостатом энергией, а число частиц в ней не изменяется. Однако, чаще всего, подсистема обменивается с термостатом не только энергией, но и частицами. Описанию таких подсистем посвящено большое каноническое распределение Гиббса.
Пусть имеется макроскопическая система, находящаяся в состоянии термодинамического равновесия. Энергия этой системы равна 
и остается величиной постоянной. Число частиц в этой системе равно 
и также не изменяется со временем. Выделим в этой системе малую подсистему, энергия которой равна 
, и которая содержит 
частиц. Все остальное окружение подсистемы назовем по-прежнему термостатом. Теперь рассмотрим случай, когда подсистема обменивается с термостатом и энергией и частицами и найдем вероятность того, что подсистема находится в состоянии с энергией и содержит частиц.
Пусть число состояний подсистемы равно 
, а число состояний термостата 
. Тогда вероятность того, что подсистема находится в состоянии с энергией и содержит частиц, а термостат находится в состоянии с энергией 
и содержит 
частиц, пропорциональна произведению числа состояний, то есть,
(4.1)
Аналогично, для того, чтобы удовлетворялось условие аддитивности для энергий и числа частиц, воспользуемся понятием энтропии: 
и запишем число состояний термостата:
(4.2)
Так как 
и 
, то энтропию 
можно разложить в ряд по степеням и . При этом ограничимся только первыми членами разложения. Тогда получаем:
(4.3)
Подставляем формулу (4.3) в формулу (4.2) и получаем:
(4.4)
В этой формуле величина 
равна некоторой постоянной, величина 
, а величина 
, где 
- химический потенциал. Тогда 
(4.5).Теперь формула (4.4) принимает вид:
(4.6)
Теперь формулу (4.1), описывающую искомую вероятность можно записать в виде:
(4.7)
Формула (4.7) представляет собой большое каноническое распределение Гиббса. Чтобы найти значение постоянной, воспользуемся условием нормировки, согласно которому имеем:
(4.8)
Воспользуемся этим условием:
(4.9)
Отсюда находим неизвестную постоянную:
(4.10)
Теперь большое каноническое распределение Гиббса можно записать в явном виде:
(4.11)
По этой формуле можно определить средние значения величин, зависящих от энергии и от числа частиц в подсистеме:
(4.12)
Например, можно найти среднее число частиц в подсистеме при произвольном значении ее энергии. Эта величина подробно выведена в формуле (4.13).
(4.13)
(4.13)
Большое каноническое распределение Гиббса, имеющее вид (4.11), можно записать в другом виде:
(4.14)
Теперь можно ввести обозначение:
(4.15)
Величина 
называется большой статистической суммой. Это выражение переходит в простую статистическую сумму. Если число частиц в системе постоянно. В этом случае большое каноническое распределение Гиббса переходит в каноническое распределение Гиббса.
Статистическую сумму и большую статистическую сумму называют также функцией состояния или интегралом по состояниям.
Химический потенциал, также как и температура, является характеристикой всей системы. Он показывает, на какую величину изменяется энергия системы частиц при изменении числа частиц на единицу при неизменных других параметрах состояния.
Если в системе содержатся частицы разного сорта. То для каждого сорта частиц вводится свой химический потенциал. Поэтому в общем случае первое начало термодинамики записывается в виде:
, (4.16)
где 
- химический потенциал частиц 
- того сорта.
Выражение (4.16) можно записать в виде:
(4.17)
Отсюда следует смысл химического потенциала:
(4.18)
Кроме того, отсюда следует использованное выражение для связи энтропии и химического потенциала:
при 
и 
. Тогда
(4.19)