Метод наименьших квадратов.

По точкам, полученным в некотором эксперименте, требуется провести прямую линию таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от предполагаемой прямой была наименьшей.

у=Ах+В – искомая функция;

А,В – искомые коэффициенты.

Функция должна достигать минимума при выбранных А,В.

Исследуйте функцию S(A,B) на локальный экстремум.

Получите выражение для А, В, соответствующие экстремуму.

Постройте по методу наименьших квадратов прямую по точкам:

 

Хi Уi

 

Контрольные вопросы 1.Дайте определение частной производной первого порядка и производной по направлению. Какова взаимосвязь между ними? 2. Дайте определение градиента скалярного поля. Какова взаимосвязь между градиентом и производной по направлению? 3. Найдите направление наибыстрейшего возрастания функции в точке . Какова скорость изменения функции в этом направлении? 4. Запишите общее выражение для дифференциала первого порядка функции двух и трех переменных 5. Найдите смешанные производные для функции . 6. Частная производная функции по переменной в точке равна… 7. Частная производная функции по переменной в точке равна… 8. Частная производная функции по переменной в точке равна… 9. Линиями уровня функции являются …   Ответы: Задача 2. а) (-1;1) – максимум; (1;-1) – минимум; б) (-3;2;-1) – максимум; в) (2; -6; 1) – минимум;
  Задача 3. Х¹0; l=-1; М1(2;0;-1); М2(-2;0;-1); d2L<0;  
Задача 4 и примечания к ней У=0,8Х–0,4;  
принимает наименьшее значение. Записываем необходимые условия существования экстремума для функции двух переменных , приравнивая к нулю частные производные:     .   В результате для нахождения оценок получаем систему уравнений:   , решение которой имеет вид :   , .    

 

  Уi  
 
 
 
 
 
10.
 
 
 

 

Основная учебная литература

 

Шипачев, В. С. Высшая математика: учебник для вузов [текст] / В. С. Шипачев. – М.: Высш. школа, 2007. – 343 с.

Алексеев Д. В. Конспекты по общему курсу математики: учеб. пособие для студентов инженерно-технических специальностей [электронный ресурс] / Д.В. Алексеев; ГУ КузГТУ. –Кемерово, 2008.

3. Казунина, Г.А. Математика: элементы теории функций комплексного переменного: учеб. пособие для вузов [текст] / Г.А. Казунина, Г.А. Липина, Л.В. Пинчина; ГУ КузГТУ. –Кемерово, 2003. – 104 с.

4. Казунина, Г.А. Преобразования Фурье. Преобразования Лапласа: учеб. пособие для вузов [электронный ресурс] / Г.А. Казунина; ГУ КузГТУ. – Кемерово, 2009.

5. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие для вузов [текст] / В. Е. Гмурман. – М.: Высшее образование, 2008. – 479 с.

 

7.2. Дополнительная учебная литература, книги издательства «Лань»

Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб. пособие для вузов [текст] / Г.Н. Берман. – СПб.: Профессия, 2005. – 423 с.