Основные расчетные соотношения
В нелинейных элементах (НЭ) электрической цепи нелинейно связаны между собой ток и напряжение (в сопротивлении), заряд и напряжение (в емкости), потокосцепление и ток (в индуктивности). В четвертой самостоятельной работе выполняются расчеты резистивных цепей, имеющих нелинейную вольт-амперную характеристику (ВАХ).
В ряде случаев исследование процессов в простейших нелинейных резистивных цепях удается провести без составления уравнений электрического равновесия, используя графические методы их анализа. Например, при последовательном соединении двух нелинейных сопротивлений (Рис. 3.1) графически суммируются их вольт-амперные характеристики и по результирующей ВАХ определяется протекающий через них ток по приложенному к цепи напряжению. Найденное значение тока, по ВАХ нелинейных элементов далее позволяет определить напряжение на каждом из них.
Рис. 3.1 - Определение напряжения на последовательно соединенных резистивных НЭ
Аналогично поступают и при большем количестве соединенных последовательно сопротивлений, некоторые из которых могут быть линейными (имеют линейную ВАХ). В результате таких преобразований нелинейные элементы заменяются одним с суммарной ВАХ. Если последовательно с НЭ в ветвь включен источник постоянной ЭДС, то ВАХ нелинейного элемента смещается вверх или вниз в соответствии с полярностью источника на величину его напряжения.
При параллельном соединении двух нелинейных сопротивлений суммируются зависимости i1(u1) и i2(u2) для получения ВАХ iвх(uвх) нелинейного сопротивления, которым можно заменить исследуемый участок цепи (Рис. 3.2).
Рис. 3.2 - Определение тока через параллельно соединенные резистивные НЭ
При параллельном подключении к НЭ источника постоянного тока результирующая ВАХ смещается вверх-вниз в соответствие с направлением и величиной тока источника.
В ряде случаев, заданные в виде таблиц и графиков экспериментальные ВАХ описывают приближенными аналитическими соотношениями - аппроксимациями. В качестве аппроксимаций нелинейных ВАХ применяются: кусочно-линейная, полиномиальная, экспоненциальная, трансцендентными функциями и некоторые другие. При выполнении заданий четвертой самостоятельной работы используются полиномиальная и кусочно-линейная аппроксимации.
Вид аппроксимирующей функции должен определяться исходя из соотношения входного сигнала и вольт-амперной характеристики НЭ. Отметим, что при работе с режимом отсечки тока должна использоваться кусочно-линейная аппроксимация – это так называемый существенно-нелинейный режим работы. При этом ВАХ нелинейного элемента представляется в виде
,(3.1)
где Uотс – напряжение отсечки или напряжение начала характеристики,
u(t) =Uсм +Um cos w0t.
– крутизна линейного участка вольт-амперной характеристики.
Следует отметить, что Uотс и S являются параметрами аппроксимирующего ВАХ полинома первой степени.
При гармоническом воздействии в этом режиме работы на выходе нелинейного элемента присутствует бесконечное количество гармоник, кратных частоте входного сигнала. Амплитуды этих гармонических составляющих определяются через амплитуду входного сигнала Um с использованием коэффициентов Берга в соответствие с выражением
(3.2)
Сами же коэффициенты Берга могут быть определены с использованием соотношения
, (3.3)
где коэффициенты представлены графически (Рис.2.3), а угол отсечки
определяется выражением
(3.4)
в котором - напряжение смещения.
Рис. 2.3 - Зависимость коэффициентов Берга от угла отсечки
В слабо-нелинейном режиме работы (без отсечки тока) используется полиномиальная аппроксимация
i(t) =а0+a1(U(t) –U0)+a2(U(t)–U0)2+…+an(U(t)–U0)n (3.5)
Здесь амплитуды гармоник определяются в виде
и т.д. В которой коэффициенты аппроксимации определяются
в результате решения системы уравнений (число уравнений равно числу неизвестных коэффициентов), составленных по ВАХ для пар точек u,i равномерно расположенных в диапазоне аппроксимации характеристики.
Средняя крутизна нелинейного элемента по первой гармонике в этом случае равна
S1 = I1 / Um = a1+2a2E+3a3E2+ a3E3+ …, (3.6)
где I1 - амплитуда первой гармонии тока стока, E = Uсм –U0.
Приложение 1
Метод трех и пяти ординат .
Формулы трех ординат позволяют вычислить постоянную составляющую I0 и амплитуды двух гармоник I1, I2:
I0 = (imax + imin + 2I0)/4
I1 = (imax - imin)/2 (П 1.1)
I2 = (imax + imin - 2i0)/4
где imax, imin, i0 - значение тока соответственно при управляющем напряжении (на затворе полевого транзистора) u = E + Um, при u = E - Um, при u = E.
Здесь E - напряжение смещения в выбранной рабочей точке, Um - амплитуда гармонического нпряжения на затворе.
Формулы пяти ординат позволяют найти:
I0 = (imax + imin + 2(i1 +i2) )/6
I1 = (imax - imin + (i1 - i2))/3
I2 = (imax + imin - 2i0)/4 (П1.2)
I3 = (imax - imin - 2(i1 - i2))/6
I4 = (imax + imin - 4(i1 +i2) + 6i0)/12
Приложение 2
Коэффициенты разложения gn(q) для последовательности косинусоидальных импульсов
q0 | соs q | 100g0 | 100g1 | 100g2 | 100g3 | 100g4 | 100g5 |
0.996 | 0.007 | 0.014 | 0.014 | 0.014 | 0.014 | 0.014 | |
0.985 | 0.056 | 0.112 | 0.111 | 0.109 | 0.107 | 0.104 | |
0.966 | 0.189 | 0.376 | 0.368 | 0.355 | 0.338 | 0.317 | |
0.940 | 0.446 | 0.881 | 0.840 | 0.798 | 0.730 | 0.648 | |
0.906 | 0.865 | 1.697 | 1.602 | 1.452 | 1.258 | 1.037 | |
0.866 | 1.482 | 2.883 | 2.653 | 2.297 | 1.857 | 1.378 | |
0.819 | 2.33 | 4/49 | 4.00 | 3.28 | 2.42 | 1.55 | |
0.766 | 3.44 | 6.55 | 5.64 | 4.32 | 2.84 | 1.46 | |
0.707 | 4.83 | 9.09 | 7.50 | 5.31 | 3.00 | 1.06 | |
0.643 | 6.53 | 12.1 | 9.54 | 6.13 | 2.82 | 0.357 | |
0.574 | 8.59 | 15.6 | 11.7 | 6.69 | 2.27 | -0.493 | |
0.5 | 10.9 | 19.6 | 13.8 | 6.89 | 1.38 | -1.38 | |
0.423 | 13.6 | 23.9 | 15.8 | 6.68 | 0.226 | -2.01 | |
0.342 | 16.6 | 28.7 | 17.6 | 6.02 | -1.05 | -2.49 | |
0.259 | 20.0 | 33.7 | 19.1 | 4.95 | - 2.29 | -2.44 | |
0.174 | 23.6 | 39.0 | 20.3 | 3.52 | -3.22 | -1.94 | |
0.087 | 27.6 | 44.4 | 21.0 | 1.83 | -4.01 | -1.08 | |
0.000 | 31.8 | 50.0 | 21.2 | 0.00 | -4.24 | 0.00 |
Варианты заданий
Вариант №1
R1=R2=0,1 кОМ; Е=0,5 В; ВАХ НЭ известна. Определить значение тока I. | |||||||||||||
R1=1 кОм; R2=2 кОм, Е1=1 В, E2=4 В. ВАХ НЭ известна. Рассчитать ток, протекающий через НЭ. | |||||||||||||
На вход усилителя подаётся напряжение uвх(t)=(1+cos10t) В. Проходная ВАХ транзистора известна. Построить график тока ik(ωt). | |||||||||||||
| |||||||||||||
|
Вариант №2
| ![]() ![]() |
R1=600 Ом; R2=50 Ом; Е=0,25 В; ВАХ НЭ известна. Определить ток I.
![]()
| ![]() ![]() |
R1= R2=1 кОм; Е1=2 В, E2=3 В; ВАХ НЭ известна.
Рассчитать ток, протекающий через НЭ.
![]()
| ![]() ![]() |
На вход усилителя подаётся напряжение uвх(t)=(-3+4cos100t), В.
Проходная ВАХ транзистора известна. Построить график тока iС(ωt).
|
|
|
|
|
|
Вариант №3
R=0,5 кОм, Е=2 В; ВАХ НЭ известны; Определить значение тока I. | ||||
R1= R2=1 кОм; Е1=2 В, E2=6 В; ВАХ НЭ известна. |