Основные определения и формулы

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА ВЫБОРКИ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

Под генеральной совокупностью с функцией распределения F(x) будем понимать гипотетическую совокупность всех возможных значений случайной величины . Вместо функции распределения F(x) может использоваться плотность распределения f(x), либо закон распределения , заданный в виде таблицы.

Набор n значений случайной величины, полученных в результате эксперимента, называется выборкой объема n из генеральной совокупности, а числа х₁, х₂, ..., х_n – выборочными значениями случайной величины .

Выборке {х₁, х₂, ..., х_n} поставим в соответствие случайную величину, принимающую эти значения с вероятностями 1/n:

и будем называть ее выборочным распределением.

Первичная обработка выборки включает следующие операции:

1) упорядочение по возрастаниюх₁ < х₂ < ... < х_n, приводит исходные данные к выборке, которая называется вариационным рядом;

2) вычисление частоты n_i элемента z_i в том случае, когда z₁, …, z_k представляют разные (не равные между собой) числа в исходной выборке {х₁, х₂, ..., х_n} так, что n_i равно числу повторяющихся элементов, соответствующих z_i (i = 1, …, k); полученная таким образом новая выборка {z_i, n_i} называется статистическим рядом;

3) вычисление относительной частоты _i = n_i/n и последовательных сумм ₁+ ₂ + …+ _i, которые представляют накопленные частоты элемента z_i.

Для получения статистического ряда {z_i, n_i} может использоваться и более общий механизм, когда z_i представляет не просто равные элементы, а близкие в определенном смысле. Например, это могут быть элементы, попадающие в i-й полуинтервал вида [x_i, x_i+1).

Если функция распределения зависит то некоторого параметра , то есть F(x) = F(x, ), то можно рассмотреть задачу оценивания этого параметра по n значениям выборочных данных {х₁, х₂, ..., х_n}. Функцию _n от этих значений будем называть оценкой параметра.

Если в качестве оценок используются выборочные характеристики случайной величины, оценки называются точечными. Такими оценками являются:

§ выборочное среднее

,

для нахождения которого в Excel используется функция СРЗНАЧ (x₁;x₂;…,x_n);

§ выборочная дисперсия

для нахождения которой в Excel используется функция ДИСП (x₁; x₂; …, x_n).

Если для параметра можно указать некоторый интервал (₁, ₂), для которого

p (₁ < < ₂) = 1 – ,

где – малое число, называемое уровнем значимости, то говорят об интервальных оценках. Интервал (₁, ₂) называется доверительным интервалом для параметра с доверительной вероятностью 1 – . В рассматриваемых упражнениях будем строить симметричные интервалы вида (₁, ₂) = (_n - , _n + ) для точечной оценки _n параметра .

При известной дисперсии ² нормальной генеральной совокупности значение для математического ожидания задается формулой

,

где z_1-/2 вычисляется c помощью функции Excel НОРМСТОБР(вероятность).

Пример 1

В ходе исследования рецидивной преступности из документов были собраны данные о числе повторных судимостей двадцати случайно отобранных человек, имевших в прошлом одну или более судимостей. Число повторных судимостей приведено в таблице:

Задача:

· Провести первичную обработку рассматриваемых данных, построить график накопленных относительных частот и найти доверительный интервал с уровнем значимости = 0,05