Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Методические указания и варианты курсовых заданий
ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
Статистической гипотезой называется предположение о виде неизвестно-го распределения случайной величины или о параметрах известного распре-деления. Наряду с проверяемой гипотезой (нулевой, или основной) Но форму-лируется и противоречащая ей гипотеза (конкурирующая, или альтернатив-ная) Н1, которая принимается, если отвергнута нулевая гипотеза.
Гипотезы разделяются на простые (содержащие только одно предположе-ние) и сложные (содержащие более одного предположения).
При проверке гипотезы могут быть допущены ошибки двух видов: ошибка первого рода, если отклонена верная нулевая гипотеза, и ошибка второго рода, если принята неверная нулевая гипотеза.
Для проверки статистической гипотезы используется специально подобран-ная случайная величина К с известным законом распределения, называемая статистическим критерием. Множество ее возможных значений разбивает-ся на два непересекающихся подмножества: одно из них (критическая область) содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отклоняется, второе (область принятия гипотезы) – значения К, при которых она принимается. Значения К, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы, называются критическими точками kр. Критическая область может быть правосторонней (если она задается неравенством ), левосторонней (
) или двусторонней (
). Для ее нахождения нужно задать вероятность ошибки первого рода α, называемую уровнем значимости; тогда, например, правосторонняя критическая область задается условием
.
Порядок проверки статистической гипотезы таков:
1) задается уровень значимости α, выбирается статистический критерий К и вычисляется (обычно по таблицам для закона распределения К) значение kкр; определяется вид критической области;
2) по выборке вычисляется наблюдаемое значение критерия Кнабл;
3) если Кнабл попадает в критическую область, нулевая гипотеза отвергается; при попадании Кнабл в область принятия гипотезы нулевая гипотеза принимается.
Рассмотрим способы проверки некоторых статистических гипотез.
Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
Пусть имеются две выборки объемов п1 и п2, извлеченные из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и Y. Требуется по исправлен-ным выборочным дисперсиям и
проверить нулевую гипотезу о равен-стве генеральных дисперсий рассматриваемых генеральных совокупностей:
Ho: D (X) = D (Y).
Критерием служит случайная величина отношение большей исправленной дисперсии к меньшей, которая при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы k1 = n1 – 1 и k2 = n2 – 1. Критическая область зависит от вида конку-рирующей гипотезы:
1) если H1: D (X) > D (Y), то критическая область правосторонняя:
Критическая точка находится по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора. Если
нулевая гипотеза принимается, в противном случае – отвергается.
2) При конкурирующей гипотезе H1: D (X) ≠ D (Y) критическая область двусторонняя: При этом достаточно найти
Тогда, если
нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, если
нулевую гипотезу отвергают.
Пример. Даны две независимые выборки объемов п1 = 10 и п2 = 15, извле-ченные из генеральных совокупностей Х и Y, распределенных по нормаль-ному закону. Найдены исправленные выборочные дисперсии и
Проверим при уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе H1: D (X) > D (Y).
Решение.
Найдем значение Критическая область – правосто-
ронняя. Вычислим наблюдаемое значение критерия:
Следовательно, нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.