Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения дискретной случайной величины обычно задается рядом распределения, который представляется в виде таблицы:

…
…

где в первой строке перечислены все возможные значения случайной величины, а во второй – соответствующие им вероятности , удовлетворяющие соотношению .

Закон распределения может быть задан графически в виде многоугольника распределения вероятностей, т.е. в виде ломаной, соединяющей точки с координатами для .

Математическим ожиданием или средним значением дискретнойслучайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

. (7)

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т.е.

. (8)

Для вычисления дисперсии на практике бывает удобнее использовать другую формулу, которую можно получить из формулы (8) с помощью простых преобразований:

. (9)

Средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

. (10)

Непрерывная случайная величина и ее числовые характеристики

Закон распределения непрерывной случайной величины удобно задавать с помощью функции плотности вероятности . Вероятность того, что значение, принятое случайной величиной , попадет в интервал , определяется равенством:

.

Математическим ожиданием или средним значением непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятности называется число:

,

если этот интеграл сходится абсолютно. В противном случае математическое ожидание случайной величины не существует.

Дисперсия непрерывной случайной величины определяется также, как и для дискретной. Для непосредственного вычисления дисперсии используют формулы:

или .

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина имеет нормальное или гауссовское распределение с параметрами и , где и (пишут ), если функция плотности случайной величины имеет вид:

,

для любого .

При и , т.е. , нормальный закон распределения называется стандартным или нормированным.

Если случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и , то

и .

Найти вероятность попадания случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами и , в интервал можно по формуле:

, (11)

где – функции Лапласа, значения которой определяются по таблице. При использовании таблицы необходимо учитывать, что функция является нечетной и при значения считаются равными 0,5.

Математическая статистика