Вычисление площади посредством двойного интеграла
Площадь S плоской фигуры области D равна двойному интегралу по области D.
В прямоугольной системе координат: 
.
В полярных координатах: 
.
Пример 13. Найти площадь области, ограниченной линиями
Решение. Сделаем рисунок 19, область D - это криволинейный треугольник ABC. Область D будет правильная в направлении оси ОХ.
Рис. 19 Рис. 20
Пример 14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
Решение. Определим точки пересечения данных кривых (рис. 20). В точке пересечения ординаты равны, т.е. 
отсюда 
. Получим две точки пересечения 
. Область D - правильная в направлении OУ.
Пример 15. Найти площадь области, ограниченной линиями
Рис. 21 Рис. 22
Решение. Построим данные окружности в полярной системе координат (рис. 21).
Пример 16. Переходя к полярным координатам, найти площадь, ограниченную линиями:
Решение. Уравнения окружностей приведём к каноническому виду 
и сделаем рис. 22,Переходя к полярной системе координат сделаем замену 
. Получим 
т.е. 
отсюда следует, что 
от сюда следует, что 
Вычисление объема тела посредством двойного интеграла
Объём вертикального цилиндрического тела, имеющего своим основанием область D на плоскости хОу и ограниченного сверху поверхностью 
(рис. 23),выражается двойным интегралом 
Рис. 23 Рис. 24 Рис. 25
Вычисление объёмов тел более сложной формы сводится к вычислению алгебраической суммы объёмов нескольких вертикальных цилиндрических тел с образующими, параллельными оси Oz.
Пример 17.Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями
Решение. Данное тело (рис. 24)представляет вертикальный цилиндр, который сверху ограничен частью плоскости 
а снизу - частью плоскости, заключённой между параболой 
и прямой 
Пример 18.Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями:
Решение. Гиперболический параболоид 
пересекает плоскость хОу 
по двум прямым 
он ограничивает тело, симметричное плоскостей xOz и yOz. Объём четвертой части тела, расположенной в первой октаве (рис. 25),равен:
Вычисление массы, центра тяжести и моментов инерции плоской фигуры посредством двойного интеграла
Если 
есть поверхностная плотность в точке 
плоской фигуры (материальной пластинки), занимающей область D, то её масса m, координаты центра тяжести 
и моменты инерции относительно осей Ох, Оу - Ix, I, и начала координат О –I0, выражаются формулами:
1) 
2) 
,
где 
- статистически моменты пластинки относительно осей Ох, Оу.
3) 
Пример 19. Найти массу кругового кольца 
если в каждой его точке поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату расстояния её до центра кольца, т.е.
Пример 19. Найти центр тяжести треугольника, ограниченного следующими прямыми: 
. Плотность р = у (рис. 26).
Рис. 26
Решение.
Следовательно, 
Центр тяжести размещается в точке пересечения медиан: 
Задача 20. Найти моменты инерции треугольника, данного в условиях предыдущей задачи.
Решение.
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ