Цикл с политропным расширением, изобарным сжатием и изохорным подводом теплоты
Выполним расчёт и анализ указанного цикла на примере решения следующей задачи.
Задача. 11м3 криптона политропно расширяется до 1/4 первоначального давления, затем изобарно сжимается до первоначального объема, наконец, изохорно возвращается в исходное состояние. Начальные параметры рабочего тела: давление р1= 0,2 МПа и температура t1= 350 °С. Показатель политропы расширения n = 2.
Определить параметры рабочего тела в характерных точках указанной совокупности процессов, суммарные значения теплоты и работы заданного количества криптона в цикле, а также изменения удельных:
- внутренней энергии в политропном процессе 1-2;
- энтропии в изобарном процессе 2-3;
- энтальпии в изохорном процессе 3-1 (рис. 1.2).
Изобразить указанный цикл в термических и тепловой диаграммах.
Рис.1.2. Изображения заданной совокупности процессов на термических
и тепловой диаграммах:
1-2 – политропное расширение; 2-3 – изобарное сжатие;
3-1 – изохорный подвод теплоты
Решение
Криптон (Kr) – одноатомный газ, поэтому его показатель адиабаты k = 1,6667. По таблице Менделеева определяем молекулярную массу криптона: mKr = 83,8 кг/кмоль.
Удельная газовая постоянная криптона
.
Масса криптона, участвующего в заданной совокупности процессов (цикле), определяем из уравнения Клапейрона для М кг рабочего тела в идеально-газовом состоянии
.
Рассчитываем термические параметры рабочего тела в характерных точках цикла.
Точка1
- абсолютная температура в Кельвина
Т1 = t1°С+273,15 = 350 +273,15 = 623,15К;
- удельный объем в начальной точке цикла определяем из уравнения Клапейрона для 1кг идеального газа рv = RT
.
Точка2
Процесс 1-2 – политропный, поэтому в нём изменяются все три термических параметра состояния в соответствии с соотношением
.
Так как по условию задачи р1/р2 = 4, то р2= р1/4 = 0,2/4 = 0,05 МПа, тогда
.
Температуру в точке2 рассчитываем из приведенного выше соотношения
.
Для проверки рассчитываем значение Т2 из уравнения состояния
.
Точка3
Процесс 2-3 – изобарный, поэтому р3= р2= 0,05 МПа.
Соотношение между параметрами в изобарном процессе
® тогда 
.
По условию задачи v3 = v1 = 0,3091 м3/кг.
Результаты расчетов записываем в таблицу:
| Номера точек | р, Мпа | v, м3/кг | Т, К |
| 0,2 | 0,3091 | 623,15 | |
| 0,05 | 0,6182 | 311,59 | |
| 0,05 | 0,3091 | 155,80 |
Рассчитываем количество удельной теплоты, подводимой (отводимой) в заданных процессах.
В политропном процессе 1-2
,
где cv – изохорная теплоемкость. По упрощенной молекулярно-кинетической теории МКТ cv=(3+j)·R/2; здесь j – количество различимых вращательных степеней свободы атомов в молекуле. Криптон одноатомный газ, поэтому j = 0
.
Поскольку рассчитанное значение q1-2 < 0, в процессе1-2теплота отводится от рабочего тела в окружающую среду.
В изобарном процессе 2-3
,
где сp = (5+j)R/2 = 2,5R = 2,5·0,0992 = 0,2480 кДж/(кг·К) – изобарная теплоёмкость.
Так как q2-3<0, то и в этом процессе теплота отводится.
В изохорном процессе 3-1
.
Следовательно, в этом процессе теплота подводится.
Суммарное количество теплоты, подводимой (отводимой) в цикле:
– удельное (для 1кг рабочего тела)
;
– общее (для Мкг рабочего тела)
.
Следовательно, теплоты подводится больше, чем отводится. Разность подводимой и отводимой теплоты (549,87 кДж) в рассматриваемом цикле превращается в работу.
Определяем значения удельных работ, получаемых (затрачиваемых) в процессах цикла:
— в политропном процессе расширения 1-2
,
— в изобарном процессе сжатия 2-3
.
— в изохорном процессе нагрева 3-1
.
Суммарное количество работы, полученной в цикле:
– удельное (работа 1 кг газа)
;
– общее (работа М кг газа)
.
Результаты расчетов значений теплоты и работы сводим в таблицу
| Процессы | Теплота, q | Деформационная работа, l |
| 1-2 – политропный процесс Расширения | –15,45 | 30,91 |
| 2-3 – изобарный процесс сжатия | –38,64 | –15,46 |
| 3-1 – изохорный процесс подвода теплоты | 69,55 | |
| Сумма | 15,45 | 15,45 |
Изменение внутренней энергии в политропном процессе расширения 1-2
кДж/кг.
Проверка.
Из первого закона термодинамики следует
.
Из выполненных расчетов следует, что в политропном процессе расширения 1-2 работа совершается за счет внутренней энергии. Кроме того, часть внутренней энергии (15,45 кДж/кг) отводится в окружающую среду в виде теплоты.
Изменение энтропии в изобарном процессе 2-3
.
Поскольку Δs23<0, теплота в этом процессе отводится, что подтверждается приведенными выше расчетами.
Изменение энтальпии в изохорном процессе 3-1
.
Проверка.
Из первого закона термодинамики следует
,
где техническая работа в изохорном процессе
.
В изохорном процессе подводимая теплота накапливается в видевнутренней энергии рабочего тела, что проявляется в повышении давления, так как dh = du+vdp.