При высокой температуре возбуждены все моды колебаний и для малопрочных кристаллов выполняются законы классической физики.
При низкой температуре 
часть мод не возбуждается, «вымерзает», и для прочных кристаллов существенны квантовые свойства.
Теплоемкость при высоких температурах. Для малопрочных кристаллов выполняется 
. Верхний предел интеграла (4.71)
меньше единиц, тогда 
. Экспоненту разлагаем в ряд, ограничиваемся двумя слагаемыми 
, и получаем
. (4.73)
Теплоемкость
удовлетворяет закону Дюлонга–Пти классической физики.
Теплоемкость при низких температурах. Для прочных кристаллов выполняется
. Верхний предел интеграла (4.71)
,
с учетом подынтегральной экспоненциальной функции, считаем бесконечным. Используем
и получаем внутреннюю тепловую энергию кристалла
, (4.74)
где учтено (4.69)
.
Результат аналогичен внутренней энергии фотонного газа (4.63)
, 
.
Для теплоемкости кристаллической решетки прочных кристаллов получаем закон Дебая
. (4.75)
При низких температурах теплоемкость кристалла пропорциональна третьей степени температуры.
Теплоемкость для широкого интервала температур. Используем (4.71)
,
,
и получаем
. (4.76)
ПРИМЕРЫ
1.Получить вероятность обнаружения фонона 
с частотой в интервале 
в единице объема кристалла при низких температурах. Найти концентрацию фононов, наиболее вероятную энергию и длину волны.
Искомая вероятность
, 
,
где n – концентрация фононов. Используем (4.70)
, 
.
Находим
, (П.12.1)
где N – числом элементарных ячеек в кристалле объемом V.
Нормировка вероятности
дает концентрацию фононов
.
Заменяем 
, используем 
, и получаем
. (П.12.2)
Низкая температура 
. Верхний предел интеграла считаем бесконечным
,
тогда
. (П.12.3)
При низких температурах в трехмерном кристалле средняя концентрация фононов пропорциональна числу элементарных ячеек в единице объема кристалла и третьей степени температуры. При 
получаем 
– концентрация фононов составляет сотые доли от концентрации элементарных ячеек кристалла.
Вероятность обнаружения фонона в единице объема в единичном интервале частоты около значения w находим из (П.12.1)
и (П.12.3)
,
в результате
. (П.12.4)
При низкой частоте 
из (П.12.4) получаем
.
При высокой частоте 
.
Максимум функции
,
где 
, соответствует наиболее вероятной частоте wm фонона. Из условия
получаем уравнение
.
Численное решение дает
.
Наиболее вероятная энергия фонона
.
Учитывая (4.72)
,
находим наиболее вероятную длину волны
,
где d – постоянная решетки. При низкой температуре наиболее вероятная длина волны фонона во столько раз превышает постоянную решетки, во сколько раз температура кристалла меньше температуры Дебая.
2.Найти давление фононного газа при 
.
При низкой температуре внутренняя энергия фононного газа (4.74)
. (П.12.5)
Тогда давление
, (П.12.6)
где учтено (4.69)
.
Сравниваем с концентрацией фононов (П.12.3)
,
получаем
. (П.12.7)
3.Для Z-валентного металла найти интервал температур, где теплоемкость электронного газа превышает теплоемкость кристаллической решетки.
Теплоемкость вырожденного газа NZ электронов согласно (П.10.19) равна
.
Теплоемкость кристаллической решетки, содержащей N узлов, при находим из закона Дебая (4.75)
.
Верхний край Т1 искомого интервала удовлетворяет уравнению
,
,
откуда
. (П.12.8)
Учитывая 
, находим
.
При нормальной температуре 
электронный газ не дает существенного вклада в теплоемкость металла.
4.Найти теплоемкость графена при высоких и низких температурах.
В пленке графена существуют продольные и поперечные упругие волны с колебаниями в плоскости пленки, поэтому 
. Если все точки и направления в пленке площадью S равноправны, то фазовый объем
,
где использовано приближение линейной дисперсии
,
v – средняя по двум типам волн скорость звука. Экспериментально получены (Nika D.L. at al. Phys. Rev. B79, 155413 (2009)): 
, 
, тогда
дает 
. Используя (3.5)
,
находим плотность состояний
.
Число независимых упругих волн равно числу степеней свободы пленки 2N, где N – число узлов двумерного кристалла. Для наибольшей частоты волн получаем уравнение
,
откуда находим частоту и температуру Дебая
,
. (П.12.9)
Для графена 
, что превышает результат для алмаза 
более, чем в 2 раза. Тепловая часть внутренней энергии равна
.
Заменяя 
, получаем
. (П.12.10)
При высокой температуре верхний предел интеграла и x гораздо меньше единицы. Разлагаем экспоненту в ряд, находим внутреннюю энергию
и теплоемкость
(П.12.11)
– закон Дюлонга–Пти для двумерного кристалла.
При низкой температуре верхний предел интеграла (П.12.10) считаем бесконечным, тогда интеграл равен 2,404 и
.
Для теплоемкости кристаллической пленки при низких температурах получаем
(П.12.12)
– закон Дебая для двумерного кристалла.