Сущность вариации признака
В статистической совокупности
Элементы совокупности характеризуются различными количественными значениями или состояниями признака.
Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.
Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу и т.д. Вариация присуща явлениям общества и природы. Вариация существует в пространстве и во времени. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианты объективна. Так, например, вариация оценок на экзамене порождается различиями способностей студентов, времени, затраченного на самостоятельную работу, различием социально-бытовых условий каждого студента и т.п.
Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.
Средние величины дают обобщающую характеристику совокупности по варьирующим признакам, показывают типичный уровень этих признаков, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Чтобы иметь представление, насколько надежна рассчитанная нами средняя величина, необходимо знать отклонения величин совокупности от среднего уровня. Так, в приведенном примере и в первом и во втором случае среднее значение – 6. Однако, в случае «А» ее можно считать типичной, т.к. варианта «6» встречается в 50 случаях чего нельзя утверждать в случае «Б», где она встречается только 1 раз.
| «А» | «Б» | ||||
| x | f | x | f | ||
| Итого: | Итого: |
Чтобы характеристика совокупности была более полной, следует также рассчитать степень отклонения всех вариант от среднего уровня. Для этого используют показатели вариации.
Показатели вариации
Наиболее простым показателем вариации является размах вариации 
.
Для варианта «А»: 8-2=6 Для варианта «Б»: 15-1=14.
Размах вариации улавливает только крайние отклонения, но представляет интерес отклонение каждой варианты от средней или «линейное отклонение от средней»: 
По нижеследующим данным произведем расчет показателей вариации приведенной совокупности. Воспользовавшись формулой для расчета средней арифметической простой, находим среднее значение равное 16 ( 
).
Во второй колонке – отклонения каждой варианты от среднего значения.
| x | x- 
| |x- |
| (x- )2
| |
| -6 | ||||
| -4 | ||||
| Итого: |
Чтобы найти среднее линейное отклонение используем среднюю арифметическую, но поскольку 
(по свойству средней), следует все отклонения взять по модулю. Теперь, используя среднюю арифметическую находим среднее линейное отклонение простое 
,
где n-количество вариант в совокупности.
В нашем примере среднее линейное отклонение равняется 4 ( 
). Но этот показатель в качестве меры вариации в статистике применяют редко. Чаще отклонения от средней возводят в квадрат и из суммы квадратов отклонений исчисляют среднюю величину. Этот показатель называется дисперсией: 
.
В нашем примере 
20,8.
Если извлечь корень из дисперсии, мы получим новый показатель – среднее квадратическое отклонение:
, или 
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются общепринятыми мерами вариации признака. Их широко применяют в статистике. Среднее квадратическое отклонение имеет те же единицы измерения, что и варианта. При сравнении вариации разных признаков или одного признака в разных совокупностях используется коэффициент вариации: 
, обычно выражается в процентах.
В рассматриваемом нами примере 
4,56; 
=28,5%.
Если мы имеем вариационный ряд распределения, то для расчета показателей вариации используем следующие формулы:
- среднее линейное отклонение взвешенное.
- дисперсия взвешенная
- среднее квадратическое отклонение взвешенное
Ниже приведен пример расчета показателей вариации в вариационном ряду распределения.
| x | f | x·f | x-
| (x- )·f
| |x- |·f
| (x- )2
| (x- )2·f
|
| -4 | -12 | 16,2 | 48,5 | ||||
| -2 | -63 | 4,1 | 126,4 | ||||
| -1 | |||||||
| 3,9 | 149,1 | ||||||
| Итого: | х | х | 324,0 |
Результаты расчетов следующие:
Среднее значение – 6,02
Среднее линейное отклонение – 1,45
Дисперсия – 3,12
Среднее квадратическое отклонение – 1,76
Коэффициент вариации – 29,32%.