Полем називається комутативне кільце, для будь-якого ненульового елемента якого існує обернений.
Зауваження. Нехай . Тоді діленням елемента
на елемент
називається операція
.
Приклади: поле раціональних дробів , дійсних чисел
і поле комплексних чисел
. Очевидно,
. Говорять, що
є підполем
(крім того, підполем поля
). З іншого боку, поля
і
називаються надполями або розширеннями поля
.
Поле, що не є надполем ні для яких підполей називається простим (наприклад, поле - простуе).
Існують поля, що складаються із скінченного числа елементів. Такі поля називаються полями Галуа. Виявляється, число елементів скінченного поля завжди є степенем деякого простого числа
:
. Поле Галуа, що складається з
елементів, позначається
або
. Оскільки мультиплікативна група
поля
складається з
елемента, то
,
.
Адитивна група поля має фундаментальну особливість: результат додавання будь-якого елемента поля
раз самим із собою дорівнює нулю. Число
називається характеристикою поля, якщо сума, що складається з
одиниць дорівнює нулю і
- мінімальне число з такою властивістю. Характеристика поля
позначається
.
Адитивній групі поля такої властивості не має. У подібних випадках характеристика поля вважається рівною нулю.
11. Лінійні перетворення та матриці над полем.
Відображення :
називається лінійним оператором з
у
, якщо виконуються наступні умови.
,
,
,
.
Матрицею розміру
над полем
називається прямокутна таблиця, що складається з
рядків і
стовпців і містить
елементів з
.
Елемент матриці індексуються номером рядка
та стовпця
, на перетину яких він знаходиться.
Транспонуванням матриці розміру
називається операція побудови матриці
(інше позначення -
) розміру
, де
.
Сумою матриць і
розміру
називається матриця
, де
. Множення матриці на константу виконується покомпонентно.
Лінійною формою над кільцем з вектором змінних
і коефіцієнтами
, називається функція
. Для лінійної форми часто використовується позначення
. Зауважимо, що можливий випадок
, при
.
Добуток матриці
розміру
на матрицю
розміру
визначено лише у випадку, коли
і
.
В окремому випадку множення матриці-рядка на матрицю-стовпець
, результат визначається як
(тобто, при цьому
розглядається як вектор).
У загальному випадку елемент матриці
визначається як
, де
- рядок матриці
з номером
, а
- стовпець матриці
з номером
.
Рангом матриці називається ранг системи її векторів-стовпців.
Теорема. Ранг матриці дорівнює рангу системи її векторів-рядків.
Матриця розміру
називається квадратною, якщо
. Кількість стовпців квадратної матриці називається її порядком. Діагоналлю з номером
квадратної матриці
порядку
називається підмножина її елементів виду
,
. При
, діагональ називається головною, всі інші діагоналі називаються побічними.
Множина квадратних матриць є некомутативним кільцем.
Нулем є матриця , що складається з усіх нулів. Одиницею - матриця
, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а інші елементи - нулю.
Множення квадратної матриці порядку на матрицю-стовпець можна розглядати як операцію над векторами. Така операція є лінійним перетворенням
- мірного векторного простору. Матриця називається оборотною, якщо вона здійснює взаємно однозначне перетворення.
Нехай - оборотна матриця. Матрицею оберненою до
називається матриця
, для якої виконуються умови
.
12. Подільність цілих чисел. Алгоритм Евкліда.
Числа 1,2,3,…називаються натуральними. Число 0, а також числа виду , де
натуральне число, називаються цілими числами. Відношення двох цілих чисел називається раціональним дробом і є записом результату ділення одного числа на інше. Ділення на нуль не визначено.Множина раціональних дробів є полем. Позначення
.
Простим числом називається натуральне число, у якого є точно два нерівних натуральних дільники.
Основна теорема арифметики: кожне натуральне число єдиним, з точністю до порядку співмножників, чином представляється у виді добутку ступенів простих чисел.
Найбільшим спільним дільником двох цілих чисел і
називається найбільше ціле число, що ділить як
так і
. Позначення:
або НСД
. Якщо НСД
, то числа
і
називаються взаємно простими.
Найменшим спільним кратним натуральних чисел і
називається найменше натуральне число, НОК
, що ділиться як на
так і на
.
Очевидно, НОК
.
Алгоритм Евклида для визначення НСД двох натуральних чисел
. Основну роль грає операція ділення чисел з остачею, тобто представлення виду
,
.
Запишемо числа . Знайдемо остачу
від ділення
на
, запишемо її слідом за
:
. В отриманому списку розглянемо останні два числа.
Знайдемо остачу від ділення першого з них на друге:
, допишемо
в список:
. Діємо далі аналогічно, поки вперше (на
-ому кроці) не виникне ситуація, коли
. Тоді
.
13. Розширений алгоритм Евклида.
Цей алгоритм призначений для пошуку лінійного представлення НСД, тобто цілочислового розв’язку ,
рівняння
,
>
,
, де
і
також цілі.
Протокол роботи розширеного алгоритму Евкліда зручно записувати у вигляді таблиці:
Остачі ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | … | ![]() | ![]() |
Частки ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | … | ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ![]() | … | ![]() | ![]() | |||
![]() | … | ![]() | ![]() |
Отримання нових значень компонент наборів
показано в третьому рядку таблиці (клітинки виділені): з числа в першій клітинці віднімається число в другій клітинці, помножене на число, що стоїть справа від нього в другому рядку, результат записується в третю клітинку. Аналогічно виконуються операції для знаходження компонент
у четвертому рядку.
14. Прості числа і основна теорема арифметики.
Натуральне число називається простим, якщо воно не має додатних дільників, відмінних від 1 і
. Всі інші числа називаються складеними.
Теорема (основна теорема арифметики). Будь-яке натуральне число або є простим числом, або його можна записати, причому єдиним чином (з точністю до порядку множників), у вигляді добутку простих чисел.
Канонічним розкладом (канонічною формою) складеного натурального числа називається представлення його у вигляді
.). Процес подання цілого числа
у такому вигляді називають також факторизацією числа
. Якщо ж враховуються нульові показники степенів то такий розклад називається узагальненим канонічним розкладом.
Наслідок з основної теореми арифметики.Нехай і
– довільні натуральні числа, і нехай
,
– їх узагальнені канонічні розклади ( ,
). Тоді найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне чисел
і
відповідно мають вигляд:
, де
,
, де
.
15. Многочлени над полями.
Многочлен над полем - це функція виду
, де
,
. Ціле число
називається степенем многочлена і позначається
.
Аналогічно визначається многочлен над комутативним кільцем. Множина усіх многочленів від однієї змінної над комутативним кільцем
також є кільцем.
Якщо , по многочлен називається зведеним (нормованим, унітарним). Многочлен
називається дільником многочлена
, якщо існує многочлен
, такий, що
,
.
Спільним дільником двох многочленів називається многочлен, що ділить обидва зазначені многочлени.
Тому дільники многочленів визначаються з точністю до константи.
Найбільшим спільним дільником двох многочленів
називається многочлен
, такий, що для будь-який загальний дільник
многочленів
і
ділить
.
Звичайно, в якості вибирається нормований многочлен.
Визначення. Многочлен ненульового степеня називається незвідним, якщо він ділиться тільки на константи і сам на себе.
16. Алгоритм Евкліда для многочленів.
Операція ділення з остачею відповідає запису виду ,
. Якщо вперше на
-ому кроці виявляється, що
, процес обчислення остач від ділення зупиняється і
.
17. Означення і властивості конгруенцій.
Кожне ціле число можна розділити з остачею на натуральне число
:
,
.
Остача від ділення числа на називається лишком (у даному випадку – лишком числа
за модулем
). Операція, що співставляє числу
його лишок за модулем
, називається зведенням
за модулем
.