Решение простейших тригонометрических уравнений
I. Тригонометрические функции числового аргумента
Синус, косинус, тангенс и котангенс
1. Радианная мера. Угол в 1 радиан – это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.
Радианная и градусная меры связаны зависимостью 180°= радиан; угол в n° равен n
180радиан.
А
с
b
 | |||
 | |||
С a В
Основные тригонометрические функции острого угла 
:
sin a = 
; tg a = 
; ctg a = 
.
Основные формулы тригонометрии
Основные тригонометрические тождества:
= 1;
tg a = 
ctg a = 
;
tg a ctg a = 1;
a + 1 = 
;
a + 1 = 
.
Формулы сложения:
cos( – ß)= coscosß+ sinsinß;
cos( + ß)= coscosß - sinsinß;
sin( – ß)= sincosß- cossinß;
sin( + ß)= sincosß + cossinß;
= 
;
= 
.
y 
y
 |
x x
Знаки синуса Знаки косинуса
y
 |
x
Знаки тангенса и котангенса
Формулы суммы и разности синусов (косинусов):
+ sin 
= 2 sin 
cos 
;
- sin = 2 sin cos 
;
+ cos = 2 cos cos ;
- cos = - 2 sin sin .
Формулы двойного аргумента:
sin 2 = 2 sin cos ;
cos 2 
= 
- 
cos 2 = 
;
cos 2 = 
;
tg 2 
.
Формулы половинного аргумента:
= sin 
;
= 
.
Упражнения.
1.Найдите значения других трех основных тригонометрических функций, если:
а) sin a = 
0,8 
<a < 
б) cos a = 
<a < 
;
в) sin a = 
0 <a < ;
г) cos a = 
<a < 
.
2.Упростите выражение:
а) 
;
б) 
;
в) 
г) 
+ 
3.Докажите тождества:
a) 
;
+ 
=2.
II. Решение тригонометрических уравнений и неравенств
Арксинус, арккосинус и арктангенс
Арксинусом числа а называется такое число из отрезка [ 
], синус которого равен а.
Пример. Найдём аrcsin
аrcsin 
= 
, так как sin = и € [ ].
Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0 
], косинус которого равен а.
Пример. arccos 
= 
, так какcos = и € [0 ].
Арктангенсом числа а называется такое число из интервала 
, тангенс которого равен а.
Пример. arctg 
= 
, так какtg =1 и €
Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала [0 ], котангенс которого равен а.
Пример. arcctg 
= 
, так какctg = и 
€ [0 ]
Упражнения.
4.Найдите значения выражений:
4.1. а) arcsin 0 + arccos 0;
б) arcsin 
+ arccos 
;
в) arcsin 
+ arccos ;
г) arcsin ( 1) + arccos .
4.2. а) arccos ( 0,5) + arcsin ( 0,5);
б) arccos 
arcsin ( 
);
в) arccos 
arcsin 
г) arccos 
arcsin .
4.3. а) arctg 1 arctg 
б) arctg 1 arctg ( );
в) arctg 
+ arctg 0;
г) arctg 
.
Решение простейших тригонометрических уравнений
Уравнение cos t = a (1)
(Если 
> 1, то уравнение не имеет решений)
Формула корней уравнения (1): t = ± arccos a + 2 
, n€ Z (2)
(Этой формулой можно пользоваться только при 1)
Особая форма записи решений уравнений (1) принята также для a = 1 и a = 0:
cos t = 1при t = 
+ 2 , n€ Z
cos t = 
при t = 
+ , n€ Z
Пример 1. Решим уравнение cos x =
По формуле (2) x = ± arccos + 2 
, n € Z
Уравнение sin t = a (3)
(не имеет решений при > 1, так как 
1 для любого t)
Решения уравнения (3) удобно записывать не двумя, а одной формулой: \
t = (– 1) 
+ 
, k€ Z(4)
sin t = 1
t = 
+2 , n € Z.
При а = 1 и а = 0 принята следующая запись решений:
sin t = 
1, если t= + 2 , n € Z.
sin t =0, еслиt = 
, n € Z.
Пример 2. Решим уравнение: sin x = 
. По формуле (4)
х = (– 1) arcsin 
+ 
, k € Z, т.е.
х=(– 1) 
+ , k € Z.
Уравнение tg t = a (5)
t = arctg a + 
, n € Z. (6)
Пример 3. Решим уравнение: tg х = 
. По формуле (6) находим решение
х = 
+ , n € Z , а так как 
= 
, приходим к окончательному ответу:
x = 
+ , n € Z.
Упражнения.
5.Решите уравнения:
а) sin 
= 
б) tg ( 4x) 
= 
;
в) cos ( 
x) = ;
г) ctg 
= 1.