Декартова система координат (ДСК) на плоскости
Расстояние |АВ| между двумя точками А(хА; уА)и В(хВ; уВ) (рис.1):
|AB| = . (1)
Деление отрезка в заданном отношении. Если точка С делит отрезок АВ в отношении λ, начиная от точки A (рис. 1), т.е.
, то координаты точки C:
. (2)
Если точка С делит отрезок АВ пополам, т.е. =1, то координаты точки C:
. (3)
В ДСК уравнение линии имеет вид F(х, у) = 0 или у = f(х).
Полярная система координат (ПСК)
Положение точки М в ПСК (рис.2) определяют две координаты: М , где r – полярный радиус
(r = |0M|), φ = – полярный угол.
ОДЗ для полярных координат: или
Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то получим формулы связи между декартовыми координатами точки M(x; y) и ее полярными координатами М :
и
(4)
Чтобы найти полярный угол φ по известному значению tgφ, нужно
учесть, в какой четверти координатной плоскости находится точка М:
(5)
В ПСК уравнение линии имеет вид F(r, φ) = 0 или r = f(φ).
Прямая линия на плоскости
Общее уравнение прямой на плоскости:
Ах + В у + С = 0.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом (рис. 3):
у = k x + b. (6)
Уравнение вертикальной прямой (рис. 3):
х = а. (7)
Уравнения прямых, проходящих через одну заданную точку М(х0; у0) (уравнение пучка прямых):
у – y0 = k(x – x0). (8)
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две заданные точки А(х1; у1) и В(х2; у2):
. (9)
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:
. (10)
Пусть на плоскости заданы две прямые, которым соответствуют уравнения с угловыми коэффициентами: у = k1 x + b1 и у = k2 x + b2.
Условие параллельности прямых на плоскости:
k1= k2.. (11)
Условие перпендикулярности прямых:
. (12)
Если одна из двух перпендикулярных прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то k1= 0 и обратно: если k2 = 0, то k1 не существует.
Тангенс острого угла между пересекающимися прямыми можно найти, используя формулу:
, (13)
откуда . Если одна из прямых вертикальная, т.е. k2 не существует, то
.
Кривые второго порядка
Каноническое уравнение эллипса:
.(14)
Термины и обозначения основных элементов эллипса (рис. 4):
O – центр эллипса;
с – фокусное расстояние;
F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы эллипса;
|А1А2| = 2a– длина большой оси;
а– большая полуось эллипса;
|B1B2| = 2b – длина малой оси;
b– малая полуось эллипса.
Для эллипса справедливо: c2= a2– b2.
Число называется эксцентриситетом эллипса
.
Если a < b, то эллипс имеет вытянутую по вертикали форму (рис. 5).
В этом случае фокусы эллипса F1(0; –c), F2(0; c), эксцентриситет
и справедливо c2= b2 – a2.
Если a = b, то уравнение эллипса становится уравнением окружности:
x2 + y2 = R2 ,
где R= a= b.
В этом случае фокусы эллипса совпадают с центром окружности, фокусное расстояние с = 0, эксцентриситет окружности .
Каноническое уравнение гиперболы:
. (15)
Термины и обозначения основных элементов гиперболы (рис. 6):
O – центр гиперболы;
с – фокусное расстояние;
F1(–c; 0), F2(c; 0) – фокусы гиперболы;
|А1А2| = 2a– длина вещественной оси;
а– вещественная полуось гиперболы;
|B1B2| = 2b – длина мнимой оси;
b– мнимая полуось гиперболы.
Уравнения асимптот гиперболы:
.
Для гиперболы справедливо: с2= a2+ b2.
Число называется эксцентриситетом гиперболы
.
Канонические уравнения параболы.
Существуют 4 вида канонических уравнений параболы:
![]() |
х2= 2ру. (16)
Фокус F(0; ![]() ![]() |
Рис. 7. | |
![]() |
х2= –2ру.(17)
Фокус F(0; – ![]() ![]() |
Рис. 8. | |
![]() |
у2= 2рх. (18)
Фокус F( ![]() ![]() |
Рис. 9. | |
![]() |
у2=–2рх . (19)
Фокус F(– ![]() ![]() |
Рис. 10. |
Термины и обозначения основных элементов параболы: O – вершина параболы, F – фокус параболы, p – параметр параболы (расстояние от фокуса F до директрисы l).
Для приведения уравнения кривой со смещенным центром к каноническому виду может быть использован параллельный перенос системы координат ХОY в точку O1(α; β). При параллельном переносе координаты любой точки М (х; у) в новой системе координат X1O1Y1 будут (х1; у1), где
(20)
Примеры таких преобразований приведены в таблице 2.
Таблица 2.
В системе координат ХОY | В системе координат X1O1Y1 |
Окружность с центром в точке O1(α;β) и с радиусом R:
![]() | Каноническое уравнение окружности:
![]() |
Эллипс с центром в точке O1(α;β):
![]() | Каноническое уравнение эллипса:
![]() |
Гипербола с центром в точке O1(α;β): ![]() | Каноническое уравнение гиперболы: ![]() |
Параболы с вершиной в точке O1(α;β) ![]() ![]() | Канонические уравнения парабол:
![]() ![]() |
Примерный вариант и образец выполнения
Контрольной работы №1
Задача 1. Даны координаты вершин треугольника АВС:
А(–3; –1), В(4; 6), С(8; –2).
Требуется: 1) вычислить длину стороны ВС; 2) составить уравнение стороны ВС; 3) найти внутренний угол треугольника при вершине В;
4) составить уравнение высоты АК, проведенной из вершины А; 5) найти координаты центра тяжести однородного треугольника (точки пересечения его медиан); 6) сделать чертеж в системе координат.
Задача 2. Даны координаты точки А(3; 0), уравнение прямой l: 3x = 4 и число λ = 3 : 2.
Найти уравнение траектории точки М, которая движется в плоскости так, что отношение ее расстояний до точки А и до прямой l равно λ. Сделать чертеж в системе координат.
Задача 3. Дано уравнение кривой 2-го порядка: .
Привести заданное уравнение к каноническому виду путем параллельного переноса осей координат. Определить тип кривой, найти ее характерные элементы в исходной системе координат. Изобразить на чертеже расположение кривой относительно обеих систем координат.
Задача 4. Даны уравнение кривой 2-го порядка и уравнение прямой l: x + 2y –3 = 0.
Требуется: 1) привести заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду; 2) найти точки пересечения кривой и заданной прямой; 3) построить обе линии в исходной системе координат.
Задача 5. Дано уравнение кривой в полярной системе координат (ПСК): .
Требуется: 1) найти область определения функции ; 2) построить кривую в ПСК, вычислив значения функции в точках
= 0, 1, ….,16, принадлежащих области определения функции
; 3) найти уравнение заданной кривой в декартовой системе координат (ДСК), начало координат в которой совпадает с полюсом ПСК, а положительная полуось ОХ – с полярной осью ОР; 4) определить тип кривой.
Решение задачи 1.
1) Вычислим длину стороны ВС по формуле (1):
|BС|= =
2) Составим уравнение стороны ВС, используя формулу (10):
y = –2x + 14 – уравнение ВС.
3) Внутренний угол треугольника при вершине В найдем как угол между прямыми ВА и ВС. Для этого сначала вычислим угловой коэффициент прямой ВА по формуле (9):
и возьмем из уравнения ВС угловой коэффициент прямой ВС: .
Из расположения точек A, B, C на координатной плоскости видно, что угол В в треугольнике ABC – острый, поэтому по формуле (13) вычислим
.
4) Для получения уравнения высоты АK, проведенной из вершины А, используем уравнение пучка прямых (8) и условие перпендикулярности прямых (12). Сначала вычислим угловой коэффициент прямой АK . Так как , то
.
Уравнение AK получим по формуле (8):
у – уА = kAK(x– xA) у – (–1) =
(x– (–3))
x –2y + 1 = 0 – уравнение AK.
5) Для определения координат центра тяжести треугольника используем свойство точки пересечения его медиан: если AМ – медиана треугольника и P – точка пересечения его медиан, то P делит AМ в отношении 2 : 1, начиная от точки А, т.е. .
Основание медианы AМ – точка М является серединой отрезка ВС. Найдем координаты точки М по формулам (3):
М(6; 2).
Теперь, когда координаты концов отрезка AМ известны, найдем координаты точки P, которая делит AМ в отношении = 2, начиная от точки А, по формулам деления отрезка в заданном отношении (2):
P(3; 1) – центр тяжести треугольника АВС.
6) Построим чертеж к задаче в системе координат ХОY (рис. 11). Полученные при решении задачи результаты не противоречат чертежу.
Ответы:
1) длина стороны |BС| = ;
2) уравнение стороны ВС: y = –2x + 14;
3) угол при вершине В: ;
4) уравнение высоты АK: x –2y + 1 = 0;
5) координаты центра тяжести треугольника P(3; 1);
6) чертеж на рис. 11.
Решение задачи 2.
Пусть М(х; у) – произвольная точка на координатной плоскости, удовлетворяющую условию задачи (рис. 12), т.е. где K – основание перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую 3x = 4. Так как K лежит на прямой 3x = 4, то
K
.
Запишем условие в координатной форме, используя формулу (1) для длины отрезка:
.
Это и есть уравнение искомой траектории, т.к. ему удовлетворяют координаты любой точки М(х; у) на этой траектории.
Для упрощения уравнения возведем обе части равенства в квадрат и приведем подобные члены:
, откуда получаем
– уравнение гиперболы с полуосями
.
Построим чертеж гиперболы в системе координат ХОY (рис. 13).
Ответ: – уравнение траектории. Чертеж на рис. 13.
Решение задачи 3.
Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:
.
Получили уравнение эллипса с центром в точке O1(5; – 2) (см. таблицу 2 в разделе «справочный материал»).
Осуществив параллельный перенос осей координат в системе XOY по формулам: получим каноническое уравнение эллипса
в системе координат X1O1Y1 , где O1(5; –2) в системе XOY (рис. 14).
Найдем характерные элементы эллипса:
.
Отсюда получаем: а = 3 – большая полуось эллипса, b= 2 – малая полуось эллипса, с = – фокусное расстояние. Координаты фокусов эллипса в системе координат X1O1Y1: F1(–
; 0), F2(
; 0).
Найдем координаты фокусов в системе координат XOY:
Таким образом, координаты фокусов эллипса в системе координат XOY:
F1(– ; –2), F2(
;–2).
Вычислим эксцентриситет эллипса:
Изобразим на чертеже расположение эллипса относительно обеих систем координат (рис. 14).
Ответ: – каноническое уравнение эллипса, где
Характерные элементы:
O1(5; –2) – центр эллипса;
а= 3 – большая полуось эллипса, b= 2 – малая полуось эллипса;
с= – фокусное расстояние;
координаты фокусов эллипса в системе координат XOY: F1(– ; –2), F2(
;–2);
эксцентриситет эллипса
Чертеж на рис. 14.
Решение задачи 4.
1) Приведем заданное уравнение кривой 2-го порядка к каноническому виду. Для этого выделим полный квадрат по переменной у (квадрат переменной х в уравнении отсутствует):
.
Получили уравнение параболы вида с вершиной в точке
(см. таблицу 2 в разделе «справочный материал»). Осуществим параллельный перенос осей координат по формулам:
В результате получим каноническое уравнение параболы
в системе координат X1O1Y1.
2) Найдем точки пересечения параболы и заданной прямой в системе координат XOY. Для этого решим систему уравнений:
Таким образом, парабола и прямая пересекаются в точках А(3; 0) и В(1; 1).
3) Построим обе линии в системе координат XOY (рис. 15).
Ответы: 1) ;
2) А(3; 0), В(1; 1);
3) чертеж на рис. 15.
Решение задачи 5.
1) Область определения функции найдем из условия
:
При n = 0 получаем при
интервалы
Следовательно, область определения
2) Для построения кривой в ПСК вычислим значения функции в точках
, k = 0, 1, …, 16, входящих в область определения, т.е. в точках, где выполнено условие
, и заполним таблицу 3.
Таблица 3.
k | ![]() | ![]() | k | ![]() | ![]() |
– | – | – | – | ||
π/8 | – | 9π/8 | 3,7 | ||
2π/8 | – | 10π/8 | 2,8 | ||
3π/8 | – | 11π/8 | 1,5 | ||
4π/8 | 12π/8 | ||||
5π/8 | 1,5 | 13π/8 | – | ||
6π/8 | 2,8 | 14π/8 | – | ||
7π/8 | 3,7 | 15π/8 | – | ||
![]() | ![]() | – |
Для построения точек кривой в ПСК в каждом из направлений, задаваемых углом
, откладываем от полюса отрезок длины
. Соединив полученные таким образом точки, получаем график функции
в ПСК (рис. 16).
3) Найдем уравнение кривой, заданной в ПСК уравнением , в декартовой системе координат.
Если совместить ПСК и ДСК так, чтобы полюс совпал с началом координат ДСК, а ось ОР совпадала с положительной полуосью ОХ, то, используя формулы связи между декартовыми и полярными координатами точки получим:
. Следовательно, уравнение кривой
в ДСК имеет вид уравнения кривой 2-го порядка:
.
4) Для определения типа кривой выделим в уравнении полные квадраты по переменным х и у:
.
Это уравнение задает окружность с центром в точке O1(–2; 0) и с радиусом R = 2. Найдем координаты точки O1(–2; 0) в ПСК:
,
(здесь выбираем n = 1, т.к. четверти (формулы (5)).
Ответы:
1) область определения:
2) чертеж на рис. 16;
3) уравнение кривой в ДСК: ;
4) тип кривой – окружность с центром в точке и с радиусом R = 2.