Производные степени и корня.
Основные правила дифференцирования.
Обозначения: С – постоянная; х – аргумент; u, v, w – функции от х, имеющие производные.
Производная алгебраической суммы функций
(1.1.)
Производная произведения двух функций
. (1.2.)
Производная произведения трех функций
(1.3.)
Производная произведения постоянной на функцию
(1.4.)
Производная частного (дроби)
(1.5.)
Частные случаи формулы (1.5.)
(1.6.)
(1.7.)
Если у есть функция от u: 
, где u, в свою очередь есть функция от аргумента х: 
, т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): 
Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:
, или 
Исходя из этого соотношения, можно получить формулы дифференцирования сложных функций. При вычислении производных необходимо помнить, что (по определению)
и знать следующие правила действий со степенями и корнями:
Здесь m и n – любые рациональные числа.
Формулы дифференцирования
При условии 
| Номер формулы | При условии 
| Номер формулы |
| 1.8. | ||
| 1.9. | ||
 где n-любое
действительное число
| 1.10. |  где n-любое
действительное число
| 1.10.а |
| 1.11. | 
| 1.11.а |
| 1.12. | 
| 1.12.а |
Найти производные следующих функций:
1. 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
.
1) Используя формулу (1.4.), вынесем постоянный множитель за знак производной, а затем применим формулу (1.10.а);
·
Аналогично, используя формулы (1.4.) и (1.10.а), получим:
2) 
·
3) 
·
4) 
;·
5) 
·
Производная сложной функции
Найти производные следующих функций:
2. 
Полагая 
, получим 
. По формуле (1.10.) находим 
·
Такая подробная запись производится только в процессе освоения техники дифференцирования. При навыке промежуточные вычисления производятся в уме.
3. 
I способ. Применим последовательно формулы (1.11.) и (1.10.): 
II способ. Введем отрицательный показатель и применим формулу (1.10.): 
·
4. 
Полагая 
, получим 
. По формуле (1.12.) находим 
·
5. 
Заменим кубический корень дробным показателем и по формуле (1.10.) найдем производную степени:
·
Производные логарифмических функций.
Формулы дифференцирования.
| При условии
| Номер формулы | При условии
| Номер формулы |
| 1.13. | 
| 1.13.a |
| 1.14. | 
| 1.14.a |
6. 
По формуле (1.13.) получим:
·
Производные показательных функций.
Формулы дифференцирования.
| При условии
| Номер формулы | При условии
| Номер формулы |
| 1.15. | 
| 1.15.a |
| 1.16. | 
| 1.16.a |
7. 
По формулам (1.1.), (1.15.а), (1.16.а) и (1.4.) получим:
·
8. 
По формуле (1.15.) получим:
·
9. 
;
По формуле (1.16.) находим:
·
Производные тригонометрических функций.
Формулы дифференцирования.
| При условии
| Номер формулы | При условии
| Номер формулы |
| 1.17. | 
| 1.17.а |
| 1.18. | 
| 1.18.а |
| 1.19. | 
| 1.19.а |
| 1.20. | 
| 1.20.а |
Найдите производные следующих функций:
10. 
Полагая 
получим 
По формуле (1.17.) находим 
·
11. 
Полагая 
, получим 
Применяя последовательно формулы (1.10.) и (1.17.), получим
Неопределенный интеграл. Определенный интеграл.