Определить токи в ветвях сложной цепи.

Решение

Рассчитать токи во всех участках цепи легче всего методом постепенного свертывания цепи, т.е. упрощения электрической цепи.

  1. Резисторы R2 и R3 соединены параллельно: R23 =

  1. Резисторы R1, R23, R4 cоединены последовательно. Эквивалентное сопротивление всей

цепи равно сумме этих сопротивлений:

RЭ = R1 + R23 + R4 = 60 + 12 + 8 = 80 Ом

  1. Ток в неразветвленных участках цепи :

I = I1 = U / RЭ = 120 / 80 =1,5 A

4. Напряжение между узлами сопротивлений R2 и R3 :

U23 = I × R23 = 1,5 × 12 = 18 B

5. Ток в цепи с резистором R2 :

I2 = U23 / R2 = 18 / 30 = 0,6 A

6. Ток в цепи с резистором R3 :

I3 = U23 / R3 = 18 / 20 = 0,9 A

7. Ток в цепи с резистором R4 равен току в неразветвленной части цепи, т.к. R1 , R23 и R4

соединены последовательно: I4 = I1 = 1,5 A.

8. Напряжение на резисторе сопротивлением R1:

U1 = I × R1 =1,5 × 60 = 90 B

  1. Напряжение на резисторе цепи сопротивлением R4 :

U4 = I × R4 = 1,5 × 8 = 12 B

 

  1. По закону сохранению энергии мощность, отдаваемая источниками, должна равняться мощности, рассеиваемой на всех сопротивлениях цепи.

Выражение баланса мощностей имеет вид : Σ РИ = Σ РН, где Σ РИ – алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых источниками; Σ РН – арифметическая сумма мощностей, потребляемых в сопротивлениях цепи.

РИ = Р1 + Р23 + Р4 ;

 

РИ = U×I = 120 × 1,5 = 180 Вт ; Р1 = U1× I = 90 × 1,5 = 135 Вт ;

Р23 = U23 × I = 18 × 1,5 = 27 Вт ; Р4 = U4 × I = 12 × 1,5 = 18 Вт

 

180 Вт = 135 + 27 + 18 = 180 Вт

 

Задание для Задачи 1.

определить эквивалентное сопротивление цепи, токи в неразветвлённых участках и в ветвях цепи, напряжения на резисторах цепи. Составить баланс мощностей

Вариант 1

Дано: R1=7 Ом; R2=10 Ом; R3=2 Ом; R4=3 Ом, U = 120 В.

Вариант 2

 

Дано: R1=1 Ом; R2=2 Ом; R3=3 Ом; R4=3 Ом; R5=4 Ом, U = 120 В

 

Вариант 3

 

Дано: R1=10 Ом; R2=5 Ом; R3=2 Ом; R4=3 Ом, U = 120 В

Вариант 4

 

Дано: R1=2 Ом; R2=10 Ом; R3=4 Ом; R4=6 Ом; R5=1 Ом, U = 120 В

Вариант 5

 

 

Дано: R1=5 Ом; R2=7 Ом; R3=3 Ом; R4=10 Ом, U = 120 В

Вариант 6

 

Дано: R1=4 Ом; R2=2 Ом; R3=1 Ом; R4=6 Ом; R5=10 Ом; R6=1 Ом; R7=2 Ом, U = 120 В

Вариант 7

 

Дано: R1=1 Ом; R2=2 Ом; R3=4 Ом; R4=6 Ом; R5=R6=1 Ом; R7=10 Ом, U = 120 В

Вариант 8

 

Дано: R1=10 Ом; R2=5 Ом; R3=1 Ом; R4=2 Ом; R5=6 Ом, U = 120 В

 

Вариант 9

Дано: R1=8 Ом; R2=15 Ом; R3=20 Ом; R4=6 Ом, U = 120 В

 

 

Вариант 10

 

Дано: R1=10 Ом; R2=20 Ом; R3=15 Ом; R4=5 Ом; R5=4 Ом, U = 120 В

2. Расчёт сложных цепей методом узловых и контурных уравнений

Пример расчёта методом узловых и контурных уравнений (по правилам Кирхгофа).

 

Задача. Рассчитать токи в цепи, представленной на рисунке, если Е1 = 48 В, Е2 = 36 В,

R1 = 35 Ом, R2 = 36 Ом, R3 = 50 Ом. R01 = 5 Ом, R02 = 4 Ом,

 

 

Электрическая схема

 

Решение

 

1. Определяем количество ветвей цепи : три ветви.

 

2. Произвольно задаемся положительными направлениями токов в ветвях (указываем на схеме стрелками) и направлениями обходов в контурах ( по часовой стрелке).

 

3. Определяем количество уравнений, составленных по 1 и 2 правилам Кирхгофа (число уравнений равно числу неизвестных токов в цепи): m = 3 (три уравнения )

 

4. Определяем число независимых уравнений, составляемых по первому правилу Кирхгофа: (n −1) уравнений, где n − количество узлов в цепи (два); n −1 = 2 − 1 = 1.

 

5. Определяем число уравнений, составленных по второму правилу Кирхгофа : m − (n − 1) = 3 − (2 − 1) = 3 − 2 + 1 = 2 .

6. Составляем систему уравнений : 7. Подставляем числовые значения:

I1 + I2 = I3 I1 + I2 = I3

E1 = I1 (R1 + R01) + I3 R3 48 = I1 (35 + 5) + I3∙ 50

E1 − E2 = I1 (R1 + R01) − I2 (R2 + R02) 48 − 36 = I1 (35 + 5) − I2 (36 + 4)

8. Приведем уравнения к нормальному виду : 9. Вторую и третью строку сократим :

I1 + I2 − I3 = 0 I1 + I2 − I3 = 0

40 I1 + 50 I3 = 48 20 I1 + 25 I3 = 24

40 I1 − 40 I2 = 12 10 I1 − 10 I2 = 3

10. Решаем данную систему способом подстановки ( можно решать различными способами) :

I3 = I1 + I2 20 I1 + 25 I1 + 25 I2 = 24 45 I1 + 25 I2 = 24 │ 45 I1 + 25 I2 = 24

20 I1 + 25 (I1 + I2) = 24 10 I1 − 10 I2 = 3 10 I1 − 10 I2 = 3 │2,5 + 25I1 −25I2 = 7,5

10 I1 − 10 I2 = 3

откуда 70 I1 = 31,5 I1 = 31,5 / 70 = 0,45 A; I1 = 0,45 A

 

11. Подставим значение тока I1 в уравнение 10 I1 − 10 I2 = 3 и определим ток второй ветви :

I2 = (10 ∙ 0,45 −3) / 10 = 0,15 A ; I2 = 0,15 A

 

12. Подставим значения токов I1 и I2 в уравнение I1 + I2 = I3 , определим ток третьей ветви :

0,45 + 0,15 = I3 ; I3 = 0,6 А.

13. Поскольку все токи получились положительными, направления всех действительных токов совпадают с

направлениями токов предполагаемых.

 

Задание для Задачи 2.

Определить токи в ветвях сложной цепи.

Вариант 1

Дано: Е1=120 В; Е2=80 В;R1=5 Ом; R2=10 Ом; R3=15 Ом; R4=10 Ом

 

 

Вариант 2

Дано: Е1=20 В; Е2=150 В; Е3=50 В;R1=8 Ом; R2=4 Ом; R3=20 Ом; R4=40 Ом.

 

Вариант 3

Дано: Е1=150 В; Е2=100 В;R1=30 Ом; R2=40 Ом; R3=20 Ом; R4=50 Ом; R5=40 Ом.

Вариант 4

Дано: Е1=120 В; Е2=160 В; Е3=80 В; Е4=140 В;R1=40 Ом; R2=30 Ом; R3=20 Ом; R4=10 Ом.

 

Вариант 5

Дано: Е1=130 В; Е2=1600 В; Е3=60 В;R1=50 Ом; R2=15 Ом; R3=40 Ом.

Вариант 6

Дано: Е1=120 В; Е2=100 В;R1=10 Ом; R2=15 Ом; R3=20 Ом; R4=80 Ом.

Вариант 7

Дано: Е1=40 В; Е2=120 В; Е3=60 В;R1=10 Ом; R2=40 Ом; R3=80 Ом.

 

 

Вариант 8

Дано: Е1=80 В; Е2=60 В; Е3=140 В; Е4=40 В;R1=10 Ом; R2=20 Ом; R3=40 Ом; R4=6 Ом. R5 = 20 Ом; R6 =40 Ом

 

 

Вариант 9

Дано: Е1=120 В; Е2=60 В; Е3=40 В;R1=4 Ом; R2=10 Ом; R3=15 Ом; R4=10 Ом

 

Вариант 10

Дано: Е1=120 В; Е2=60 В; R1=20 Ом; R2=40 Ом; R3=50 Ом; R4=10 Ом; R5=40 Ом.

3. РАСЧЁТ потенциалов точек ЭЛЕКТРИЧЕСКой ЦЕПи ПОСТОЯННОГО ТОКА

Расчет потенциалов точек электрической цепи. Потенциальная диаграмма.

 

Задача.Рассчитать потенциалы точек и построить потенциальную диаграмму для цепи, показанной на рисунке, если Е1 = 36 В, R01 = 6 Ом, Е2 = 12 В, R02 = 3 Ом, R1 = 20 Ом, R2 = 14 Ом, R3 = 5 Ом.

 

Электрическая схема

 

Решение

1. Определяем величину тока в цепи :

Ток будет направлен по направлению Е1, т.к. Е1> Е2, т.е. по часовой стрелке.

 

2. Примем потенциал точки Аза нулевой φА = 0 ( принять за начальный потенциал можно потенциал

любой точки, разность потенциалов от этого не изменится.)

 

3. Поскольку действительный ток в цепи течет по часовой стрелке, т.е. от точки А к точке В потенциал

точки А больше потенциала точки В на величину падения напряжения на сопротивлении R1:

φA− φB=UAB= I R1; откуда φB = φA− I R1 = 0 − 0,5∙ 20 = − 10 В

 

4. Определяем потенциал точки С цепи:

φВ− φС=UBС= I R01; откуда φС = φВ− I R01 = −10 − 0,5∙ 6 = − 10 − 3 = − 13 В

 

5. Определяем потенциал точки D цепи :

у источника потенциал зажима D больше потенциала зажима С ( + > − ) :

φD− φC= E1; откуда φD = φC +E1 = − 13 + 36 = 23 В

 

6. Определяем потенциал точки E :

φD− φE=UDE= I R2; откуда φE = φD − I R2 = 23 − 0,5∙ 14 = 23 − 7 = 16 В

 

7. Определяем потенциал точки F :

φE − φF = E2 ; откуда φF = φE − E2 = 16 − 12 = 4 В

 

8. Определяем потенциал точки Q :

φF − φQ=UFQ = I R02; откуда φQ = φF − I R02 = 4 − 0,5∙ 3 = 4 − 1,5 = 2,5 В

 

7. Определяем потенциал точки M :

φQ− φM = UQM = I R3; откуда φM = φQ − I R3 = 2,5 − 0,5∙ 5 = 2,5 − 2,5 = 0 В

Разумеется, потенциалы точек А и М равны 0, поскольку обе точки являются однопотенциальными

.

8. Построение потенциальной диаграммы.

По горизонтальной оси откладываются сопротивления цепи с указанием точек, причем сопротивления откладываются не от начала координат, а складываются, т.к. сопротивления в цепи соединены последовательно. Например, для точки В, еще через 6 Ом − точка С ( R01 = 6 Ом ). Поскольку между точками С и D включен идеальный источник( внутреннее сопротивление его вынесено между точками В и С) , сопротивление между ними равно нулю, следовательно по сопротивлениям С и D − одна точка , а по потенциалам − это совершенно различные точки, поскольку между ними находится Е1.

Аналогичным образом откладываются остальные точки цепи. По вертикали откладываются потенциалы точек. Цепь состоит из линейных элементов, поэтому точки соединяются прямыми линиями С помощью потенциальной диаграммы можно определить ток, протекающий в любом сопротивлении цепи :

I = ΔU / R. Чем круче идут линии графика, тем больший ток протекает по данному сопротивлению.

 

Задание для Задачи 3.

Построить потенциальную диаграмму.

Вариант 1

 

Дано:φa=0 (В); Е1=60 В; Е2=30 В; R1=5 Ом; R2=10 Ом; R01=R02=2 Ом.

Вариант 2

 

 

Дано: φa=0 (В); Е1=50 В; Е2=25 В; R1=3 Ом; R2=3 Ом; R3=6 Ом; R01=0; R02=1 Ом.

 

 

Вариант 3

Дано: φa=0 (В); Е1=20 В; Е2=40 В; R1=1 Ом; R2=3 Ом; R3=6 Ом; R01=0; R02=1 Ом.

Вариант 4

Дано: φa=0 (В); Е1=60 В; Е2=30 В; R1=5 Ом; R2=10 Ом; R01=R02=2 Ом.

 

 

Вариант 5

Дано: φa=0 (В); Е1=30 В; Е2=15 В; R1=1,5 Ом; R2=3,5 Ом; R3=2,5 Ом; R01=R02=2 Ом.

Вариант 6

Дано: φd=0 (В); Е1=60 В; Е2=40 В; R1=10 Ом; R2=10 Ом; R3=10 Ом; R01=R02=3 Ом.

 

ТЕМА: однофазные Электрические цепи переменного тока

4.Расчёт цепи переменного тока последовательного соединения R, L, C