Пример решения задачи на построение эпюра точки.

Основные теоретические положения.

Пусть дана в пространстве точка А. Введем три взаимно перпендикулярные плоскости проекций p₁, p₂, p₃ (рис.1). Положение точки в пространстве (только в том случае, если введена система координат) однозначно определяется тремя, например, декартовыми координатами x,y,z, численные значения которых равны расстояниям, на которые точка удалена от плоскостей проекций, если они совмещены с координатными плоскостями выбранной системы координат. Чтобы определить эти расстояния, необходимо, используя метод ортогонального проецирования, через точку А провести лучи, перпендикулярные плоскостям проекций (называемые проецирующими лучами), затем построить точки А₁, А₂, А₃ пересечения прямых с плоскостями проекций и измерить длины отрезков [AA₁], [AA₂], [AA₃]. Эпюр Монжа или комплексный чертеж получают путем совмещения плоскостей проекций p₁, p₂, p₃ (рис.2) при повороте их относительно осей OX и OZ, называемыми также осями проекций.

Рис.1 Рис.2

При этом в начертательной геометрии приняты следующие обозначения и наименования:

p₁, p₂, p₃ – горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости проекций соответственно;

А₁, А₂, А₃ – горизонтальная, фронтальная и профильная проекции точки А соответственно;

|AA₃|=|OA_x|=x ; |AA₂|=|OA_y|=y; |AA₁|=|OA_z|=z – соответственно абсцисса x, ордината y и аппликата z точки А;

[AA₁), [AA₂), [AA₃) – проецирующие лучи, перпендикулярные плоскостям проекций.

Линии, связывающие пары проекций, называются линиями связи.

Чертеж, изображенный на рис.2, называется трехпроекционным чертежом точки, по которому можно заметить, что:

1) фронтальная А₂ и А₁ горизонтальная проекции точки А всегда располагаются на одной вертикальной линии связи (А₁А₂);

2) фронтальная А₂ и профильная А₃ проекции точки А всегда располагаются на одной горизонтальной линии связи;

3)
линия связи всегда перпендикулярна оси проекций (А₁,А₂ ^ OX; А₂,А₃ ^ OZ);

Рис.3.

4) две проекции точки однозначно определяют положение точки в пространстве, а, значит по двум заданным точкам всегда можно построить третью проекцию.

Так как для описания положения точки в пространстве с помощью комплексного чертежа вполне достаточно двух ее проекций (обычно горизонтальной и фронтальной), в задачах начертательной геометрии используют двухпроекционное изображение точки на эпюре (рис.3).

Пример решения задачи на построение эпюра точки.

Построить ортогональные (эпюр, двухпроекционный чертеж) и аксонометрические проекции точек А (30,-18,32) и B (15,25, 50), а также:

- точки K, симметричной точке А относительно плоскости p₁;

- точки С, симметричной точке A относительно плоскости p₂;

- точки D, симметричной т. B относительно оси OX;

Аксонометрические проекции точек следует строить во фронтальной диметрической проекции – ГОСТ 2.317-69.

Решение.

Рис.4

Для построения на эпюре точки А проведем ось OX. От точки О откладываем координату x_A, полученную точку обозначаем A_x (рис.4). Через точку A_x проводим линию связи, перпендикулярную оси OX. Вдоль линии связи откладываем координаты z_A=30 мм – выше оси OX (т.к. значение положительно), y_A=18 мм выше оси OX (т.к. значение y отрицательно). В результате координата z_Aопределит положение фронтальной проекции А₂ точки А, а y_A – горизонтальной проекции A₁. Для построения аксонометрической проекции точки А нужно известные координаты отложить вдоль соответствующих осей и далее выполнять построения, очевидные по рис.4. Так как в качестве аксонометрической выбрана прямоугольная диметрия, то координата y при построениях уменьшается вдвое.

Подобное представление удобно для установления связи координат искомых точек К,С, D и М, необходимых для построения их эпюров.

x_K=x_А, y_K=y_A, z_K=-z_A ;

x_С=x_А, y_С=-y_A, z_С=z_A; (1)

x_D=x_В, y_D=-y_В, z_D=-z_В;

В истинности выражений (1) предлагается убедиться самостоятельно.

1.3. Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. Определить по эпюру координаты точек в мм, определить положение точек относительно плоскостей проекций (указать угловой квадрант), построить третьи проекции точек (рис.6).

Задача 2. Построить эпюр и аксонометрию (прямоугольную диметрию) проекции точек А (15, -55, 48) и В (50,-10,-37).

Задача 3. Точка А имеет координаты (30,25,-34). Требуется построить:

1) точку В, симметричную точке А относительно p₁.

2) точку С, симметричную точке А относительно p₂.

3) точку Е, симметричную точке А относительно p₃.

Задача 4. Точка D имеет координаты (20, 46,38). Построить:

1) точку М, симметричную точке D относительно четной биссекторной плоскости t (плоскости тождеств, биссектора 2 и 4 координатных углов);

2) точку L, симметричную точке D относительно нечетной биссекторной плоскости s (плоскости симметрии, биссектора 1 и 3 координатных углов).

Рис.7.

Задача 6. Задана фронтальная проекция точки В, равноудаленной от плоскостей прекций p₁ и p₂. Построить остальные проекции точки (рис.8).

1. Каково условие принадлежности точки плоскости p₁?

2. Какой координатой определяется расстояние от точки до плоскости p₁,p₂, p₃?

3. Каково условие принадлежности точки оси OY?

4. К какой из плоскостей находится ближе всего точка А (70,64,-12)?

5. Какими координатами определяется фронтальная проекция точки?

6. Какими координатами определяется горизонтальная проекция точки проекция точки?

7. При каком условии точка будет равноудалена от плоскостей проекций p₁p₂p₃?

Задача 8. По проекции М₂ построить проекции М₁ и М₃, если z_M=y_M/2 (рис.9).

Рис.9.

2. ЭПЮР ПРЯМОЙ. ТОЧКА НА ПРЯМОЙ.

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ.

12
• Далее ⇒