Геометрической вероятности 1 страница
Государственный университет по землеустройству
Кафедра высшей математики и физики
Высшая математика
Теория вероятностей,
Математическая статистика
Учебное пособие
для студентов II курса специальностей:
120301 – «Землеустройство»
120302 – «Земельный кадастр»
120303 – «Городской кадастр»
120101 – «Геодезия»
Москва 2006
УДК 51
Подготовлено и рекомендовано к печати кафедрой высшей математики и физики Государственного университета по землеустройству (протокол № 10 от 30.08. 2006 г).
Рецензент: Заведующий кафедрой высшей математики МЭИ доктор физико-математических наук профессор Петрушко И.М.
Авторы:
к.ф.-м.н. доц. Червяков А.В., к.ф.-м.н. доц. Репин А.Ю.
| |
Общие указания
Предлагаемая работа содержит контрольные задания по программе второго курса высшей математики (теория вероятностей и математическая статистика) для студентов всех специальностей. Каждое задание содержит образец решения.
Выполнение студентами контрольных заданий является одним из этапов изучения учебной дисциплины и подготовки к экзамену. Каждое контрольное задание выполняется на отдельном листе формата А4. Все задания брошюруются и предъявляются преподавателю для защиты.
К экзамену допускаются лишь те студенты, у которых зачтены все контрольные задания, запланированные в данном семестре.
Каждый студент выполняет контрольные задания в соответствии со своим вариантом.
Глава I
Основные формулы классической и
геометрической вероятности
Непосредственный расчёт вероятности возможен в том случае, когда результат опыта можно представить в виде полной группы элементарных событий, которые несовместны и равновозможны. При этом в классическом случае вероятность события есть отношение числа 
благоприятствующих этому событию элементарных случаев к общему числу 
всех равновозможных случаев, т.е.
. (1.1)
Пример 1.1
Пусть имеется 12 тщательно перемешанных одинаковых шаров белого (5 штук) и чёрного (7 штук) цвета, из которых случайно выбираются 4 шара. Какова вероятность того, что в числе извлечённых будет чёрных и белых шаров поровну?
Решение:
Число всех элементарных событий при этом опыте будет
.
Количество благоприятствующих случаев можно рассчитать по формуле
.
Искомая вероятность равна
.
Непосредственным подсчётом благоприятствующих исходов могут быть решены варианты 1,2,3,4.
Геометрическое определение вероятности применяют в том случае, когда результат опыта определяется случайным положением точки в некоторой области 
, причём любые положения точек в этой области равновозможны. Если размер всей области равен 
, а размер части попадание в которую благоприятствует данному событию есть 
, тогда искомая вероятность события 
определяется по формуле
. (1.2)
Область 
может иметь любое число измерений, поэтому величины , могут представлять собой длины отрезков, площади, объёмы и т.д. Геометрической вероятности посвящены варианты 5,6,7.
Пример 1.2
Какова вероятность того, что сумма двух случайно взятых положительных дробей не больше единицы?
Решение:
Пусть 
и 
– взятые правильные дроби. Их возможные значения определяют область 
. На плоскости 
это множество соответствует квадрату с площадью 
. Благоприятствующие значения соответствуют треугольнику 
. Площадь этого треугольника 
, поэтому 
.
Условной вероятностью 
события называется вероятность появления этого события, вычисленная в предположении, что имело место событие 
.
События и независимы, если 
.
Вероятность произведения двух событий определяется по формуле:
. (1.3)
В случае трёх событий 
формула несколько усложняется:
. (1.4)
Если события 
независимые, то вероятность произведения этих событий равна произведению вероятностей отдельных событий:
. (1.5)
В частности, для двух независимых событий и имеем формулу
. (1.6)
Пример 1.3
Партия из ста деталей подвергается выборочному контролю. Условием непригодности всех партий является наличие хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова вероятность для данной партии быть непринятой, если она содержит 5% неисправных деталей?
Решение:
Пусть событие заключается в том, что партия деталей принята. Данное событие является произведением пяти событий
,
где 
– означает, что 
-тая проверенная деталь доброкачественная. Вероятность события 
. Далее рассчитываем условные вероятности:
Поэтому вероятность события равна
.
Аналогично можно решить задачи вариантов 8,9,10.
Вероятность суммы двух событий определяют по формуле:
. (1.7)
В случае трёх событий формула имеет вид:
(1.8)
Для несовместных событий вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий
. (1.9)
Для двух несовместных событий 
эта формула записывается в виде:
. (1.10)
Пример 1.4
Определить вероятность того, что партия из ста деталей, среди которых пять бракованных, будет принята при испытании случайно выбранной половины всей партии, если условиями приёма допускается не более одной бракованной детали из пятидесяти.
Решение:
Пусть – событие, состоящее в том, что среди пятидесяти деталей нет брака, а – событие при осуществелнии которого в партии из пятидесяти деталей только одна бракованная. События и несовместны, поэтому
.
Кроме того, очевидно, что
, 
.
Таким образом, искомая вероятность равна
.
Аналогично могут быть решены варианты 11 – 16.
Пусть событие может произойти только вместе с одним из несовместных событий 
. Эти попарно несовместные события называются гипотезами. Гипотезы 
должны составлять полную группу событий, т.е.
.
Тогда для вероятности 
осуществления события , имеет место формула полной вероятности
. (1.11)
Пример 1.5
В тире имеются пять ружей, вероятности попадания из которых равны соответственно: 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий берёт одно из ружей случайно.
Решение:
Пусть гипотеза 
означает, что стреляющий выбрал -тое ружьё 
. Из условия задачи 
. Условные вероятности 
также заданы в тексте задачи:
; 
; 
;
; 
.
Согласно формуле полной вероятности получаем:
.
Аналогично решаются задачи 17–20.
Вероятность 
гипотезы после того, как имело место событие , определяется формулой Байеса:
, (1.12)
где .
Пример 1.6
Имеются две партии деталей, причём известно, что в одной партии все детали удовлетворяют требованиям качества, а в другой партии 1/4 деталей бракованные. Деталь, взятая из случайно выбранной партии, оказалась хорошего качества. Определить в связи с этим вероятность того, что партия содержит недоброкачественные детали.
Решение:
Имеются две равновозможные и несовместные гипотезы: 
– выбор партии с доброкачественными деталями, 
– выбор партии в которой имеется брак. Очевидно, что 
. Кроме того, по условию задачи 
, 
. По формуле полной вероятности:
.
Наконец по формуле Байеса определяем:
.
Аналогично решаются задачи вариантов 21–23.
Если производятся независимых опытов, вероятность появления события в каждом из которых постоянна и равна 
, то вероятность 
того, что это событие при опытах осуществится ровно раз, определяется формулой Бернулли:
, (1.13)
где 
, 
.
Вероятность появления события не менее 
и не более 
раз можно рассчитать по формуле Бернулли, принимая во внимание формулу сложения несовместных событий:
. (1.14)
Вероятность появления события хотя бы один раз в опытах можно определить по формуле:
. (1.15)
Количество опытов , которые нужно провести для того, чтобы с вероятностью не меньшей 
можно было утверждать, что данное событие осуществится, по крайней мере, один раз, определяется из неравенства:
. (1.16)
При больших значениях и и постоянном значении имеет место интегральная формула Лапласа:
, (1.17)
где 
– функция Лапласа.
Если 
, а 
причём так, что 
, тогда из формулы Бернулли можно получить формулу Пуассона:
.
Пример 1.7
Вероятность выхода из строя изделия за время испытаний на надёжность равна 
. Какова вероятность, что за время испытаний 100 изделий выйдут из строя не более 5 изделий?
Решение:
Необходимо вычислить вероятность 
. Для этого применим интегральную формулу Лапласа. В данном примере 
, 
.
.
Аналогично могут быть решены задачи вариантов 24–30.
Задача №1
Решить соответствующий вариант, применяя основные формулы классической и геометрической вероятности.
Вариант 1. Секретный замок содержит на общей оси пять дисков. Первый диск разделён на шесть секторов с буквами: A,B,C,D,E,F. Остальные четыре разбиты на десять секторов с цифрами от 0 до 9. Какова вероятность разгадать код с первой попытки?
Указание. Использовать формулу 1.1.
Ответ: 
.
Вариант 2. Двенадцать книг расставлены на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что четыре определённые книги окажутся поставленными вместе?
Указание. Использовать формулу 1.1.
Ответ: 
.
Вариант 3. Имеется пять отрезков, длины которых равны соответственно 1,3,5,7 и 9. Определить вероятность того, что с помощью взятых наудачу трёх отрезков из данных пяти можно построить треугольник.
Указание. Из трёх отрезков 
можно построить треугольник в том случае, если 
, 
. Для подсчёта вероятности использовать формулу 1.1.
Ответ: 
.
Вариант 4. Из колоды карт (52 шт.) случайно извлекают три. Какова вероятность, что это будут: тройка, семёрка, туз?
Указание. Применить формулу 1.1.
Ответ: 
.
Вариант 5. Дватеплоходадолжны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение суток. Определить вероятность того, что одному из теплоходов придётся ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода один час, а второго – два часа?
Указание. Применить формулу 1.2.
Ответ: 
.
Вариант 6. Спутник Земли движется по орбите, которая заключена между 600 северной и 600 южной широты. Считая падение спутника в любую точку поверхности Земли между указанными параллелями равновозможным, найти вероятность того, что спутник упадёт выше 300 северной широты.
Указание. Использовать формулу 1.2.
Ответ: 
.
Вариант 7. Определить вероятность того, что корни уравнения 
вещественны и положительны, если 
(любое значение параметров 
в указанных пределах равновозможны).
Указание. Использовать формулу 1.2 и свойства корней квадратного уравнения.
Ответ: 
.
Вариант 8. Имеются две карточки с буквой «А» и четыре карточки с буквами «Е,К,Р,Т». Карточки перемешиваются, затем наугад извлекаются по одной. Какова вероятность, что получится слово «РАКЕТА»?
Указание. Применить формулу 1.5.
Ответ: 
.
Вариант 9. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наудачу. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в три места.
Указание. Прейти к противоположному событию и применить формулу 1.4.
Ответ: .
Вариант 10. В лотерее 100 билетов, из которых 5 выигрышных. Какова вероятность выиграть, имея 3 билета?
Указание. Прейти к противоположному событию и применить формулу 1.4.
Ответ: 
.
Вариант 11. В двух урнах находятся одинаковые шары, отличающиеся только цветом, причём в первой урне 5 белых шаров, 11 чёрных и 8 красных, а во второй соответственно 10,8 и 6. Из обеих урн случайным образом извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?
Указание. Применить формулы 1.1 и 1.9.
Ответ: 
.
Вариант 12. Билет в партер стоит 500 руб., в бельэтаж – 400 руб., на ярусы – 300 руб. Определить вероятность того, что покупаемые наугад два билета стоят вместе не дороже 800 руб., если равновозможно приобретение билетов любого типа.
Указание. Использовать формулы 1.6, 1.9.
Ответ: 
.
Вариант 13. Определить вероятность того, что случайно выбранное целое положительное число: а) не делится ни на два, ни на три; б) не делится на два или на три.
Указание. Использовать формулы 1.3, 1.7.
Ответ: 
Вариант 14. Из урны, содержащей 13 шаров с номерами от 1 до 13, последовательно извлекаются два шара, причём первый шар возвращается, если его номер не равен единице. Найти вероятность того, что шар с номером два будет извлечён при втором выборе.
Указание. Использовать формулы 1.6 и 1.10.
Ответ: 
Вариант 15. Двое игроков поочерёдно бросают монету. Выигрывает тот игрок, у которого раньше появится герб. Определить вероятности выигрыша для каждого из игроков.
Указание. Применить формулы 1.5 и 1.9.
Ответ: первый бросающий 
, второй бросающий 
.
Вариант 16. В электропоезд, состоящий из 4 вагонов, входят 5 пассажиров, которые выбирают вагоны наудачу. Определить вероятность того, что в каждый вагон войдёт хотя бы один пассажир.
Указание. Применить формулы 1.5 и 1.8.
Ответ: 
.
Вариант 17. В двух урнах находится соответственно 5 и 3 белых и 7 и 5 чёрных шаров. Из каждой урны случайно извлекается один шара, а затем из этих двух шаров наудачу берётся один. Какова вероятность, что этот шар белый?
Указание. Применить формулу 1.11.
Ответ: 
.
Вариант 18. Видеоплата, поставленная в компьютер, может принадлежать к одной из трёх партий с вероятностями соответственно 0,25; 0,5; 0,25. Вероятности того, что плата проработает заданное число часов для этих партий равны, соответственно: 0,95; 0,9; 0,81. Найти вероятность того, что плата проработает заданное число часов.
Указание. Применить формулу 1.11.
Ответ: 
.
Вариант 19. Определить вероятность того, что 10 лампочек, взятых наудачу из 100, окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек на 100 штук равновозможно от 0 до 32.
Указание. Применить формулу 1.11.
Ответ: 
.
Вариант 20. В коробку, содержащую 5 шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этой коробки белый шар, если все предположения о начальном количестве белых шаров равновозможны?
Указание. Применить формулу 1.11.
Ответ: 
.
Вариант 21. В тире имеется девять ружей, из которых только два пристреляны. Вероятность попадания в цель из пристрелянного ружья 0,8, а из непристрелянного – 0,1. Выстрелом из случайно выбранного ружья мишень поражена. Определить вероятность того, взято пристрелянное или непристрелянное ружьё.
Указание. Применить формулу 1.12.
Ответ: 
и 
.
Вариант 22. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Некоторая схема контроля признаёт годной стандартную продукцию с вероятностью 0,98, а бракованную – с вероятностью 0,05. Какова вероятность того, что изделие, прошедшее этот контроль стандартно?