Найдем комплексные амплитуды поверхностных токов и зарядов на всех стенках трубы.

Задача № 1-4

 

В полой трубе прямоугольного сечения (см. рис. 1) создано монохроматическое электромагнитное поле. Труба заполнена однородной изотропной средой без потерь, абсолютны диэлектрическая и магнитная проницаемости равны и соответственно. Известно, что комплексная амплитуда вектора равна:

, где

, ,

, , , - частота электромагниных колебаний; - длина волны, распространяющейся в однородной изотропной непроводящей среде с параметрами и ; - скорость света в этой среде, .

 

Исходные данные:

 

№ вар В/м a см b см ГГц ГГц
0,75 2,5

 


Рис.1

 


1. Найдем комплексные амплитуды составляющих вектора .

 

Запишем выражения для комплексных амплитуд составляющих вектора

(1)

(2)

(3)

Воспользуемся вторым уравнением Максвелла в комплексной форме:

(4)

Найдем

Тогда составляющие комплексной амплитуды вектора равны соответственно:

Найдем выражения для частных производных составляющих комлекной амлитуды вектора по соответствующим координатам:

, так как продольная составляющая вектора отсутствует.

Подставим полученные выражения в выражения для составляющих вектора , полученные ранее:

(5)

(6)

(7)

Упростив варыжения (5), (6), (7), получим итоговые выражения для коплексных амплитуд составляющих вектора

(8)

(9)

(10)

 

2. Определим диапопзон частот в котором – действительное число, т.е. рассматриваемое поле – бегущая волна.

 

По условию задачи . Значит, будет действительным в случае, если

, т.е. при см.

Этому диапозону длин волн соответствует диапозон частот:

, где Гц

Если частота волны не принадлежит рассчитанному диапозону частот, то является мнимой величиной. Для этого случая произведем замену: , для учета того факта, при этом ,

 

3. Запишем выражения для мгновенных значений составляющих векторов поля и для двух случаев:

а) когда принадлежит найденному в п. 2 диапозону частот,

б) когда не принадлежит этому диапозону.

 

Для получения выражений для мгновенных значений составляющих векторов поля необходимо домножить их комплексные амплитуды на выражение и, выделить действительную часть.

В первом случае выражения для комплексных амлитуд составляющих используются без изменений. Во втором случае необходимо произвести замену, описанную в пункте 2.

Тогда для случая а) получим выражения:

а для случая б) выражения будут иметь вид:

 

4. Построим графики амплитуд составляющих векторов поля в сечении z=z0 от координаты x при y=0,25b в интервале и от коожинаты y при x=0,75a в интервале , а также зависимоcти тех же составляющих от координаты z вдоль линии x=0,25a; y=0,25b в интервале на частотах и (см. исходные данные).

Для наглядности построений вычислим соответствующие постоянные множители в выражениях для амплитуд составляющих веторов поля для каждого вида зависимости в отдельности. Для этого подставим соответствующие значения постоянных величин в данные выражения:

1) z=z0; y=0,25b; ;

, В/м

, В/м

, В/м


, А/м


, А/м

, А/м

2) z=z0; y=0,25b; ;

, В/м

, В/м

, В/м


, А/м


, А/м

, А/м

 

3) z=z0; x=0,75a; ;

, В/м

, В/м

, В/м


, А/м


, А/м

, А/м

 

4) z=z0; x=0,75a; ;

, В/м

, В/м

, В/м


, А/м


, А/м

, А/м

 

5) x=0,25a; y=0,25b; ;

, В/м

, В/м

, В/м


, А/м


, А/м


, А/м

 

6) x=0,25a; y=0,25b; ;

, В/м

, В/м

, В/м


, А/м


, А/м

, А/м

 

В выражениях пп. 1, 3, 5 м, рад/с, z0=0.036 м, , а в пп. 2, 4, 6 м, рад/с, z0=0.044 м и Нп/м.

Зависимости, рассчитанные в данном пункте работы, были запрограммированы в математическом пакете MathCad 13, где был проведен поточечный расчет и построение соответствующих графиков, приведенных на рис. 2-13.


 

рис. 2 рис. 3

 

рис. 4 рис. 5

 

рис. 6 рис. 7


 

рис. 8 рис. 9

 

рис. 10 рис. 11

 

рис. 12 рис. 13


5. Проверим выполнение граничных условий для касательных составляющих вектора и нормальных составляющих вектора на боковой (х=а) и нижней (у=0) стенке трубы.

 

Проверка граничных условий заключается в проверке истинности утверждений и , т.е. равенста нулю касательной вектора и нормальной вектора проекций (составляющих).

 

На боковой стенке (х=а) рассмотрению подлежат следующие составляющие:

,

Подставим в эти выражения х=а, получим:

,

при этом другие множители от координаты х не зависят.

Следовательно, оба выражения обращаются в ноль и граничные условия выполняются.

 

На нижней стенке волновода (y=0) рассмотрим:

 

,

 

При подстановке у=0 в эти выражения получим:

 

Заметим, что на двух оставшихся стенках волновода соответствующие рассмотренные составляющие также обращаются в ноль, так противоположные стенки волновода праллельны.

 

Найдем комплексные амплитуды поверхностных токов и зарядов на всех стенках трубы.

 

Комплексную амплитуду поверхностного тока можно найти по формуле:

Комплексную амплитуду плотности зарядов можно найти по формуле:

 

1) На нижней стенке волновода (у=0) искомые выражения имеют вид:

2) На верхней стенке (y=b):

3) На правой стенке (x=0):

4) На левой стенке (х=а):