Точки разрыва и их классификация
Московский авиационный институт
(национальный исследовательский университет)
Курсовая работа
По математическому анализу
Вариант №16
Выполнил: студент гр.
Проверил:
Москва 2011/12 уч. год
Оглавление
Теория……………………………………………………………………..……3
Практическая часть………………………………………………………..…9
Теория.
Точки разрыва и их классификация
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки 
, кроме, быть может, самой точки . Из приведенного ранее определения точки разрыва функции получаем, что точка является точкой разрыва функции f(x), если выполняется одно из условий: или функция f(x) определена в точке , но не является непрерывной в этой точке, или функция f(x) не определена в точке .
В первом случае точка принадлежит области определения функции, во втором случае не принадлежит области определения функции. Заметим, что для основных элементарных функций возможен только второй случай.
Пусть — точка разрыва функции f(x). При этом называется точкой разрыва первого рода, если функция f(x) имеет конечные пределы справа и слева в этой точке. Во всех остальных случаях называется точкой разрыва второго рода. Если точка разрыва первого рода функции f(x) то график этой функции в точке хо может иметь лишь конечный скачок (см. рис. 1). Если же - точка разрыва второго рода функции f(x), то по крайней мере один из пределов справа или слева в точке не существует или равен бесконечности.
Основные сведения
Функция f(x), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число 
, что при любом значении х выполняется равенство 
. Число Т называется периодом функции.
Отметим некоторые с в о й с т в а этой функции:
1) Сумма, разность, произведение и частное периодических функций периода Т есть периодическая функция периода Т.
2) Если функция f(x) период Т , то функция f(ax)имеет период 
.
3) Если f(x)- периодическая функция периода Т , то равны любые два интеграла от этой функции, взятые по промежуткам длины Т (при этом интеграл существует), т. е. при любых a и b справедливо равенство 
.
Тригонометрический ряд. Ряд Фурье
Если f(x) разлагается на отрезке 
в равномерно сходящийся тригонометрический ряд:
(1)
,то это разложение единственное и коэффициенты определяются по формулам:
, где n=1,2, . . .
Тригонометрический ряд (1) рассмотренного вида с коэффициентами называется тригонометрическим рядом Фурье, а 
коэффициентами ряда Фурье.
Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье
Точка разрыва функции 
называют точкой разрыва первого рода, если существует конечные пределы справа и слева этой функции в данной точке.
ТЕОРЕМА 1 (Дирихле). Если периодическая с периодом 
функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-ого рода на отрезке [ 
] и этот отрезок можно разбить на конечное число частей, в каждом из которых f(x) монотонна, то ряд Фурье относительно функции сходится к f(x) в точках непрерывности и к среднеарифметическому односторонних пределов в точках разрыва рода (Функция удовлетворяющая этим условиям называется кусочно-монотонной).
ТЕОРЕМА 2. Если f(x) периодическая функция с периодом , которая на отрезке [ ] вместе со своей производной непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f(x) в точках разрыва к среднему арифметическому односторонних пределов (Функция удовлетворяющая этой теореме называется кусочно-гладкой).
Ряды Фурье для четных и нечетных функций
Пусть f(x) - четная функция с периодом 2L , удовлетворяющая условию f(-x) = f(x) .
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
= 
= 
= 0 
, где n=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2L выглядит так:
Пусть теперь f(x) - нечетная функция с периодом 2L, удовлетворяющая условию f(-x) = - f(x).
Тогда для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы:
, где n=1,2, . . .
Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2L выглядит так:
Если функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на промежутке то 
, где 
,
,
,
Если f(x) разлагается в тригонометрический ряд Фурье на [0,L], то доопределив заданную функцию f(x) соответствующим образом на [-L,0]; далее периодически продолжив на (T=2L), получим новую функцию, которую разлагаем в тригонометрический ряд Фурье.
Для разложения в ряд Фурье непериодической функции, заданной на конечном произвольном промежутке [a,b], надо: доопределить на [b,a+2L] и периодически продолжить, либо доопределить на [b-2L,a] и периодически продолжить.
Комплексная форма ряда Фурье
Выражение 
называется комплексной формой ряда Фурье функции f(x), если 
определяется равенством
, где 
Переход от ряда Фурье в комплексной форме к ряду в действительной форме и обратно осуществляется с помощью формул:
(n=1,2, . . .)
| Ряд Фурье для периодической функции с периодом T = 2L | |
| Пусть g (x) – периодическая функция с периодом 2π:
Тогда функция
Следовательно, для разложения периодической функции f (x) с периодом 2L в ряд Фурье можно использовать соответствующие формулы для периодической функции с периодом 2π, выполнив в них подстановку
|
является периодической с периодом 2L:
:
Интеграл Фурье
Достаточные условия представимости функции в интеграл Фурье.
Для того, чтобы f(x) была представлена интегралом Фурье во всех точках непрерывности и правильных точках разрыва, достаточно:
1) абсолютной интегрируемости на 
(т.е. интеграл сходится)
2) на любом конечном отрезке [-L, L] функция была бы кусочно-гладкой
3) в точках разрыва функции, ее интеграл Фурье определяется полусуммой левого и правого пределов в этих точках, а в точках непрерывности к самой функции f(x)
Интегралом Фурье функции f(x) называется интеграл вида:
, где 
,
.