РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ КОДЕРА И ДЕКОДЕРА ПРОСТОГО КОДА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по выполнению курсовой работы по дисциплине
"ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СВЯЗИ"
для студентов специальности
7.092401 «Телекоммуникационные системы и сети»
Донецк - 2010.
Методические указания к курсовой работе по дисциплине «Теория электрической связи» для студентов специальности ТКС/Воронцов А.Г. – Донецк, ДонГТУ, 2010. – 43с.
Методические указания посвящены вопросам расчёта и оптимизации характеристик систем электросвязи и содержат задания и рекомендации для выполнения курсовой работы.
Методические указания предназначены для студентов дневной формы обучения по специальности «Телекоммуникационные системы и сети».
Составитель: Воронцов А. Г.
Утверждены на заседании кафедры
«Автоматика и телекоммуникации»,
протокол № 3 от 11. 01. 2010 г.
ВВЕДЕНИЕ
Данная курсовая работа направлена на дальнейшее развитие понятий, подходов и методов изученных в ходе лекционного курса, лабораторных и практических занятий дисциплины «Теория электрической связи». Основной акцент делается на развитие у студентов навыков принимать самостоятельно технические решения при создании систем связи, оценке их характеристик и технических показателей. В частности, этому способствует сравнительный характер оценок показателей различных версий построения системы для одних и тех же источников сообщений.
Методические указания содержат два варианта задания, отличающиеся видами сообщений и методами их передачи: Вариант Ц – система передачи непрерывных сообщений цифровым методом; и Вариант Д – система передачи дискретных сообщений. Кроме того, каждый вариант имеет 100 номеров (версий), отличающихся значениями численных исходных данных. Для исполнения студент получает вариант задания (Ц или Д) и номер варианта (от 0 до 99).
1. ЗАДАНИЯ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ
1.1. Вариант Ц
Сообщение непрерывного источника передается по каналу связи методом ИКМ. В канале связи с постоянными параметрами и аддитивным белым гауссовым шумом используется помехоустойчивое кодирование и модуляция гармонического переносчика.
В табл. П1 приведены исходные данные:
1. Источник сообщений задан первичным сигналом 
с нулевым средним значением и следующими параметрами:
- плотностью вероятности мгновенных значений 
- нормальным распределением (НР), двусторонним экспоненциальным распределением (ДЭР), либо равномерным распределением на интервале 
(РР);
- средней мощностью сигнала 
;
- коэффициентом амплитуды 
;
- максимальной частотой спектра 
.
2. Допустимое отношение сигнал/шум на входе получателя 
.
3. ИКМ преобразование непрерывного сигнала в цифровой производится с использованием равномерного квантования, отношение сигнал/шум квантования 
.
4. Метод модуляции гармонического переносчика.
5. Способ приема: когерентный либо некогерентный.
6. Энергетический выигрыш кодирования (ЭВК).
Задание.
1. Структурная схема ЦСП. Изобразить структурную схему цифровой системы передачи непрерывных сообщений. Пояснить назначение каждого блока, дать определение основных параметров, характеризующих каждый блок. Разработать структурную схему модулятора и демодулятора. Произвести моделирование работы модулятора и демодулятора на основе пакета System View. Привести временные диаграммы работы модулятора и демодулятора. Дать описание работы модулятора и демодулятора на основе предложенных структурных схем, моделей пакета и временных диаграмм.
2. Расчет параметров АЦП и ЦАП. Составить и описать структурные схемы АЦП и ЦАП, определить частоту дискретизации и интервал дискретизации, число уровней квантования и длительность двоичного символа, рассчитать отношение сигнал/шум квантования и допустимую вероятность ошибки символа на входе ЦАП 
.
3. Расчет информационных характеристик источника сообщенийи первичных сигналов. Для заданных статистических характеристик источника непрерывных сообщений и качества воспроизведения сообщения на входе получателя произвести расчет эпсилон-энтропии 
, избыточности 
и производительности источника 
. Пояснить причины избыточности источника. Сформулировать требования к пропускной способности канала связи. Определить энтропию квантованных отсчетов в АЦП 
и производительность источника цифрового сообщения 
. Сравнить и .
4. Расчет помехоустойчивости демодулятора. Для заданных вида модуляции и способа приема рассчитать и построить график зависимости вероятности ошибки двоичного символа на выходе демодулятора от отношения сигнал/шум 
; определить требуемые отношения сигнал/шум 
и 
, при которых обеспечивается допустимая вероятность ошибки символа на входе ЦАП 
Произвести качественный анализ помехоустойчивости канала, состоящего из модулятора, демодулятора и линии связи на основе разработанной согласно задания п.1 SystemView – моделей.
5. Выбор корректирующего кода и расчет помехоустойчивости системы связи с кодированием. Для заданных вида модуляции, способа приема и энергетического выигрыша кодирования выбрать корректирующий код, обеспечивающий вероятность ошибки символа на выходе декодера 
. Рассчитать и построить зависимость вероятности ошибки символа на выходе декодера от отношения сигнал/шум на входе демодулятора 
. Определить полученный ЭВК. Произвести оценку помехоустойчивости канала, включающего модулятор, линию связи и демодулятор путем моделирования на ЭВМ, используя метод Монте-Карло. Построить зависимость вероятности ошибочного приема бита от соотношения сигнал-шум на входе демодулятора.
6. Расчеты и сравнение эффективности систем передачи непрерывных сообщений. Произвести расчеты и сравнение информационной, энергетической и частотной эффективности системы связи для двух вариантов цифровой передачи с помехоустойчивым кодированием и без него. Построить график предельной зависимости 
. На этом рисунке точками отразить эффективность двух вариантов передачи. Сравнить показатели эффективности двух вариантов передачи между собой и с предельной эффективностью. Сделать выводы по результатам сравнения.
7. Заключение. Сделать выводы по курсовой работе в целом.
1.2. Вариант Д
Сообщение дискретного источника кодируется двоичным кодом и передается по каналу связи с постоянными параметрами и аддитивным белым гауссовским шумом модулированным сигналом. В канале связи используется помехоустойчивое кодирование.
В табл. П3 приведены исходные данные:
1. Источник вырабатывает последовательность независимых знаков с распределением вероятностей: равновероятным при объеме алфавита 
,букв украинского текста, букв русского текста либо букв английского текста.
2. Допустимая вероятность ошибки знака на входе получателя 
.
3. Скорость модуляции на выходе кодера простого кода В.
4. Способ приема: когерентный либо некогерентный.
5. Энергетический выигрыш кодирования (ЭВК).
Задание.
1. Структурная схема СПДП. Изобразить структурную схему системы передачи дискретных сообщений. Пояснить назначение каждого блока, дать определение основных параметров, характеризующих каждый блок.
2. Расчет параметров кодера и декодера простого кода. Рассчитать параметры кодера и декодера простого кода: значность кода n, длительность двоичного символа 
, время передачи одного знака 
, допустимую вероятность ошибки символа на выходе декодера .
3. Расчет информационных характеристик источника сообщений. Для заданных статистических характеристик источника дискретных сообщений произвести расчет энтропии 
, избыточности и производительности источника 
. Пояснить причины избыточности источника. Сформулировать требования к пропускной способности канала связи.
4. Расчет помехоустойчивости демодулятора. Для заданных вида модуляции и способа приема рассчитать и построить график зависимости вероятности ошибки двоичного символа на выходе демодулятора от отношения сигнал/шум на входе демодулятора ; определить требуемые отношения сигнал/шум 
и 
, при которых обеспечивается допустимая вероятность ошибки символа на входе декодера простого кода 
.
5. Выбор корректирующего кода и расчет помехоустойчивости системы связи с кодированием. Для заданных вида модуляции, способа приема и энергетического выигрыша кодирования выбрать корректирующий код, обеспечивающий вероятность ошибки символа на выходе декодера 
. Рассчитать и построить зависимость вероятности ошибки символа на выходе декодера от отношения сигнал/шум на входе демодулятора 
. Определить достигнутый ЭВК. Определить требуемое отношение сигнал/шум на входе демодулятора 
, при котором обеспечивается вероятность ошибки символа на выходе декодера .
6. Расчет эффективности системы передачи дискретных сообщений. Произвести расчеты и сравнение информационной, энергетической и частотной эффективности рассчитываемой системы связи для двух вариантов передачи - с помехоустойчивым кодированием и без него. Построить график предельной зависимости . На этом рисунке точками отразить эффективность двух вариантов передачи. Сравнить показатели эффективности двух вариантов передачи между собой и с предельной эффективностью. Сделать выводы по результатам сравнения.
7. Заключение. Сделать выводы по курсовой работе в целом.
2. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ СООБЩЕНИЙ
В этом разделе КР необходимо привести описание структурной схемы системы электросвязи, принципа действия и особенностей работы отдельных блоков для заданного вида сообщения и способа передачи (кодирования и модуляции). При описании необходимо дать определение основных параметров, характеризующих каждый из блоков.
Структурная схема цифровой системы передачи непрерывных сообщений приведена на рисунке 1а. Для ее описания см. [1, гл.1, разд.8.1; 2, гл.1, разд.16.1]. Поскольку в системе передачи используется помехоустойчивое кодирование, то между АЦП и модулятором включен кодер корректирующего кода, а между демодулятором и ЦАП - декодер корректирующего кода.
Структурная схема системы передачи дискретных сообщений приведена на рис. 1б. Для ее описания см. [1, гл.1; 2, гл.1, разд.18.2]. Поскольку по заданию объем алфавита источника сообщений 
, а в канале связи используется помехоустойчивое кодирование, то схема содержит два кодера - простого кода и корректирующего кода и, соответственно, два декодера - корректирующего кода и простого кода.
 |
РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ КОДЕРА И ДЕКОДЕРА ПРОСТОГО КОДА
Предполагается, что кодирование ведется равномерным кодом, при котором, в отличие от неравномерного кода, более просты в реализации кодер и декодер.
Исходные данные:
- объем алфавита источника дискретных сообщений ;
- скорость модуляции на выходе кодера простого кода В;
- допустимая вероятность ошибки знака на выходе декодера 
.
Требуется определить:
- длительность двоичного символа (бита*) на выходе кодера 
;
- значность простого кода n;
- время передачи одного знака 
;
- допустимую вероятность ошибки бита на входе декодера 
.
Длительность двоичного символа на выходе кодера определяется
(3.1)
Значность кода определяется из условия, что число возможных комбинаций не меньше объема алфавита источника
или 
(3.2)
Поскольку другие требования к коду не предъявляются, то значность кода выбирается как минимальное целое число, при котором выполняются неравенства (3.2).
Время передачи одного знака
(3.3)
Допустимая вероятность ошибки бита на входе декодера определяется при условии, что ошибки символов в канале связи (выход кодера - вход декодера) независимы: 
. При 
.
Откуда 
(3.4)
4. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ АЦП И ЦАП
Исходные данные для расчетов:
- максимальная частота спектра первичного сигнала 
;
- плотность вероятности мгновенных значений первичного сигнала p(b);
- средняя мощность первичного сигнала ;
- коэффициент амплитуды первичного сигнала ;
- допустимое отношение сигнал/помеха на входе получателя ;
- допустимое значение сигнал/шум квантования 
;
- в АЦП производится равномерное квантование.
Требуется:
- составить и описать структурные схемы АЦП и ЦАП;
- определить интервал дискретизации 
и частоту дискретизации 
;
- определить число уровней квантования L и значность двоичного кода n;
- рассчитать длительность двоичного символа ;
- рассчитать отношение сигнал/шум квантования при выбранных параметрах АЦП;
- рассчитать допустимую вероятность ошибки символа в канале связи (на входе ЦАП).
1. Структурные схемы АЦП и ЦАП подробно описаны в [1, гл.8; 2, гл.16]. Приведенные там схемы АЦП необходимо дополнить входным ФНЧ, который в реальных системах электросвязи используется для ограничения спектра первичного сигнала. Это связано с тем, что у большинства первичных сигналов спектр является медленно убывающей функцией, и величина не есть частота, выше которой спектр равен нулю, а является граничной частотой полосы, которую необходимо передать из условия достижения заданного качества воспроизведения первичного сигнала ( определяется требуемой разборчивостью речи, четкостью изображения и т.д.).
2. Интервал дискретизации по времени 
выбирается на основе теоремы Котельникова [1, разд. 2.7; 2, разд. 2.4]. Обратная величина к - частота дискретизации 
выбирается из условия
(4.1)
Увеличение частоты дискретизации позволяет упростить входной фильтр АЦП, ограничивающий спектр первичного сигнала, и выходной (интерполирующий) ФНЧ ЦАП, восстанавливающий непрерывный сигнал по отсчетам. Но увеличение частоты дискретизации приводит к уменьшению длительности двоичных сигналов на выходе АЦП, что требует нежелательного расширения полосы частот канала связи для передачи этих символов. Обычно параметры входного ФНЧ АЦП и выходного ФНЧ ЦАП выбирают одинаковыми.
На рис. 2 даны: 
- спектр отсчетов, представленных узкими импульсами, 
- спектр непрерывного сигнала , 
- рабочее ослабление ФНЧ. Для того, чтобы ФНЧ не вносили линейных искажений в непрерывный сигнал, граничные частоты полос пропускания ФНЧ должны удовлетворять условию
(4.2)
Для того, чтобы исключить наложение спектров и 
, а также обеспечить ослабление восстанавливающим ФНЧ составляющих , граничные частоты полос задерживания ФНЧ должны удовлетворять условию
. (4.3)
Чтобы ФНЧ не были слишком сложными, отношение граничных частот выбирают из условия
. (4.4)
После подстановки соотношений (4.2) и (4.3) в (4.4) можно выбрать частоту .
 |
 |
Так, например, для речевых сигналов с =3400 Гц Международным Консультативным Комитетом по Телеграфии и Телефонии (МККТТ) рекомендовано значение =8 кГц.
3. Помехоустойчивость системы передачи непрерывных сообщений определяется величиной
(4.5)
где 
- средняя мощность первичного сигнала;
- средняя мощность помехи на выходе системы передачи.
В системе цифровой передачи методом ИКМ мощность помехи на выходе ЦАП определяется
, (4.6)
где 
- средняя мощность шума квантования;
- средняя мощность шумов ложных импульсов.
Если задано отношение сигнал/шум квантования , то
. (4.7)
Если же не задано, а задано , то полагают, что
(4.8)
При проведении расчетов по формулам (4.5) и (4.7) заданные в децибелах отношения сигнал/помеха необходимо представить в разах
. (4.9)
Мощность шума квантования выражается через величину шага квантования 
[1, ф-ла (8.8)]
. (4.10)
Шаг квантования зависит от числа уровней квантования L
(4.11)
Здесь предполагается, что первичный сигнал 
, подлежащий преобразованию в цифровой сигнал, принимает значения от 
до 
и интервал ( , ) подлежит квантованию. У сигналов со средним значением равным нулю 
. Если значение не задано, то оно определяется с помощью соотношения
(4.12)
где - коэффициент амплитуды (в [1] обозначается П и называется пик-фактором). Он характеризует превышение максимальным (амплитудным) значением сигнала его среднеквадратического значения, равного корню из средней мощности сигнала.
На основе соотношений (4.10) и (4.11) минимально возможное число уровней квантования определяется
(4.13)
Значность двоичного кода АЦП
(4.14)
есть целое число. Поэтому число уровней квантования L выбирается как такая целая степень числа 2, при которой
(4.15)
После выбора величины L необходимо рассчитать отношение сигнал/шум квантования [1, ф-ла (8.11)]
(4.16)
4. Для определения допустимой вероятности ошибки двоичного символа на входе ЦАП необходимо предварительно определить допустимую величину мощности шума ложных импульсов на основе соотношения (4.6)
(4.17)
Здесь -мощность шума квантования, определяемая соотношениями (4.10) и (4.11) при выбранном числе уровней квантования L. Далее воспользуемся соотношением [1, ф-ла (8.14)], связывающим 
и вероятность ошибки бита на входе ЦАП
(4.18)
Величина шага квантования определяется формулой (4.11). Соотношение (4.18) позволяет рассчитать допустимую вероятность ошибки символа на входе ЦАП.
Длительность двоичного символа на выходе АЦП определяется
(4.19)
5. РАСЧЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ИСТОЧНИКА СООБЩЕНИЙ И ПЕРВИЧНЫХ СИГНАЛОВ
5.1 .Расчет информационных характеристик источника непрерывных сообщений
Сообщение непрерывного источника преобразуется в первичный аналоговый сигнал обычно без потери информации, поэтому расчеты информационных характеристик источника проводятся для первичного сигнала
Исходные данные для расчета:
- плотность вероятности мгновенных значений первичного сигнала 
;
- максимальная частота спектра первичного сигнала ;
- отношение средней мощности первичного сигнала к средней мощности ошибки воспроизведения на выходе системы передачи .
Подлежат расчету:
- эпсилон-энтропия источника ;
- коэффициент избыточности источника 
;
- производительность источника .
Сведения об эпсилон-энтропии и методах ее расчета даны в [1, разд. 4.7] - расчетная формула (4.63). Входящие в формулу (4.63) дифференциальная энтропия 
и условная энтропия 
вычисляются с помощью соотношения (4.30) в [1] при известных плотностях вероятности. Дифференциальная энтропия сигнала зависит от вида распределение вероятностей и дисперсии сигнала 
, и соответствующие расчетные формулы для ее вычислений приведены в табл. 1. У сигналов со средним значением равным нулю 
.
При расчетах полагают, что ошибка воспроизведения на выходе системы передачи является гауссовской, и условная энтропия вычисляется по формуле (4.34) в [1], в которую необходимо подставить значение дисперсии ошибки воспроизведения (мощности помехи на выходе системы передачи) 
. Значение определяется по заданному отношению сигнал/помеха и средней мощности сигнала по формуле (4.5).
Таблица 1. Дифференциальная энтропия для некоторых законов распределения случайных величин
| Распределение вероятности | Дифференциальная энтропия , бит/отсчет |
Нормальное распределение (рис. 3а)
|
|
Двустороннее экспоненциальное распределение (рис. 3б)
|
|
Равномерное распределение (рис. 3в)
|
|
До вычислений заданное в децибелах отношение необходимо представить в разах - формула (4.9).
1. Коэффициент избыточности источника вычисляется по формуле (4.10) из [1]. В эту формулу подставляются вычисленное значение эпсилон-энтропии и максимально возможное значение 
, достигаемое при нормальном распределении вероятности сигнала и той же дисперсии сигнала .
2. Производительность источника 
, которую называют эпсилон-производительностью, вычисляют в предположении, что отсчеты следуют через интервал Котельникова - формула (4.67) из [1]. В этой формуле 
- максимальная частота спектра первичного сигнала . Требования к пропускной способности непрерывного канала связи формулируются на основе теоремы кодирования для канала с помехами [1, разд. 4.6].
5.2 Расчет информационных характеристик источника дискретных сообщений
Исходные данные для расчета:
- объем алфавита источника ;
- вероятности знаков 
, образующих алфавит источника (предполагается, что знаки в сообщениях независимы);
- время передачи одного знака .
Подлежат расчету:
- энтропия источника 
;
- коэффициент избыточности источника ;
- производительность источника .
Расчеты информационных характеристик можно выполнить на основе материала, изложенного в разд. 4.1 учебника [1] . Необходимые для расчетов вероятности букв в украинском, русском и английском текстах приведены в табл. 2, 3 и 4. Расчеты энтропии источника следует выполнять на ЭВМ либо программируемом калькуляторе.
Таблица 2. Распределение вероятностей букв в украинских текстах
| Буква | Вероятность | Буква | Вероятность | Буква | Вероятность | Буква | Вероятность |
| Пробел | 0.122 | Р | 0.040 | З | 0.018 | Ж | 0.007 |
| О | 0.090 | С | 0.034 | И | 0.017 | Ц | 0.006 |
| А | 0.074 | Л | 0.034 | Б | 0.016 | Ю | 0.006 |
| И | 0.059 | К | 0.034 | Я | 0.015 | Ї | 0.006 |
| І | 0.055 | У | 0.032 | Г | 0.013 | Е | 0.003 |
| Н | 0.053 | Д | 0.026 | Ч | 0.012 | Ф | 0.002 |
| В | 0.047 | П | 0.026 | Ш | 0.010 | ||
| Т | 0.044 | М | 0.023 | Х | 0.008 | ||
| Е | 0.041 | Ь | 0.021 | Щ | 0.008 |
Таблица 3. Распределение вероятностей букв в русских текстах
| Буква | Вероят ность | Буква | Вероят ность | Буква | Вероят ность | Буква | Вероятность |
| Пробел | 0.175 | Р | 0.040 | Я | 0.018 | Х | 0.009 |
| О | 0.089 | В | 0.038 | Ы | 0.016 | Ж | 0.007 |
| Е,Ё | 0.072 | Л | 0.035 | З | 0.016 | Ю | 0.006 |
| А | 0.062 | К | 0.028 | Ь,Ъ | 0.014 | Ш | 0.006 |
| И | 0.062 | М | 0.026 | Б | 0.014 | Ц | 0.004 |
| Т | 0.053 | Д | 0.025 | Г | 0.013 | Щ | 0.003 |
| Н | 0.053 | П | 0.023 | Ч | 0.012 | Э | 0.003 |
| С | 0.045 | У | 0.021 | Й | 0.010 | Ф | 0.002 |
Таблица 4. Распределение вероятностей букв в английских текстах
| Буква | Вероят ность | Буква | Вероят ность | Буква | Вероят ность | Буква | Вероятность |
| Пробел | 0.198 | R | 0.054 | U | 0.022 | V | 0.008 |
| E | 0.105 | S | 0.052 | M | 0.021 | K | 0.003 |
| T | 0.072 | H | 0.047 | P | 0.017 | X | 0.002 |
| O | 0.065 | D | 0.035 | Y | 0.012 | J | 0.001 |
| A | 0.063 | L | 0.029 | W | 0.012 | Q | 0.001 |
| N | 0.059 | C | 0.023 | G | 0.011 | Z | 0.001 |
| I | 0.055 | F | 0.022 | B | 0.010 |
Производительность источника легко определить, зная энтропию и время передачи одного знака [1, ф-ла (4.11)].
Требования к пропускной способности дискретного канала связи формулируются на основе теоремы кодирования для канала с помехами [1, разд. 4.6].
5.3. Расчет информационных характеристик сигнала на выходе АЦП
Исходные данные для расчета:
- плотность распределения вероятностей мгновенных значений и коэффициент амплитуды первичного сигнала;
- число уровней квантования АЦП L;
- частота дискретизации АЦП 
.
Подлежат расчету:
- энтропия квантованных отсчетов ;
- скорость создания информации на выходе АЦП .
Квантованный сигнал 
является дискретным по уровню и его энтропия вычисляется по формуле (4.4) из [1] - формуле энтропии источника дискретных независимых сообщений (полагают, что производимые в АЦП отсчеты независимы).Входящие в эту формулу вероятности квантованных значений сигнала можно определить
, (5.1)
где 
- квантованное значение сигнала на i-ом уровне квантования;
- плотность вероятности сигнала ;
- шаг квантования, определяемый по формуле (4.11).
Расчеты энтропии квантованного сигнала следует выполнять с помощью ЭВМ либо программируемого калькулятора.
Скорость создания информации на выходе квантующего устройства вычисляется по формуле (4.11) из [1]. В эту формулу необходимо подставить значения энтропии квантованного сигнала и интервала дискретизации. Сравните значения и и поясните причину их отличия.
6. РАСЧЕТ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ДЕМОДУЛЯТОРА
6.1. Расчет помехоустойчивости демодулятора сигнала аналоговой модуляции
Исходные данные:
- допустимое отношение сигнал/помеха на выходе демодулятора ;
- вид модуляции;
- канал связи с постоянными параметрами и аддитивным белым гауссовским шумом со спектральной плотностью мощности 
;
- параметры первичного сигнала - коэффициент амплитуды и максимальная частота спектра .
Подлежат расчету:
- зависимость 
;
- требуемое отношение средней мощности сигнала к удельной мощности шума 
на входе демодулятора.
Основной характеристикой демодулятора сигнала аналоговой модуляции является зависимость ,
где 
- (6.1)
отношение средних мощностей сигнала и помехи на выходе демодулятора;
- (6.2)
отношение средних мощностей сигнала и шума на входе демодулятора. Значения и 
связывает величина g - выигрыш демодулятора [1, ф-ла (7.32)]:
(6.3)
(здесь и ниже и выражаются в разах).
Для сигналов АМ, БМ и ОМ величина g определяется формулами, приведенными в [1, с. 220] (коэффициент амплитудной модуляции 
подлежит выбору и обоснованию из условия, что 
). Для заданного вида модуляции - ОМ, БМ или АМ определите выигрыш g и постройте график зависимости для диапазона значений от 1 до допустимого значения. Масштаб для и должен быть логарифмическим, как на рис. 7.5 в [1]. Определите требуемое отношение ; покажите на графике точку, соответствующую допустимому и требуемому .
При частотной модуляции выигрыш определяется [1, ф-ла (7.42)]:
(6.4)
где 
-индекс частотной модуляции;
- (6.5)
коэффициент расширения полосы частот при ЧМ.
Формула (6.4) определяет выигрыш демодулятора при условии, что превышает пороговое отношение сигнал/шум 
[1, разд. 7.5]. Зависимость же при любых , включая область порога, достаточно сложная. Выражение, описывающее эту зависимость, можно получить на основе импульсной теории порога [3, с. 74…80]:
(6.6)
Входящая в выражение величина не известна и подлежит выбору. При выборе следует учитывать, что для увеличения помехоустойчивости демодулятора (выигрыша) необходимо увеличивать . Но при увеличении уменьшается , определяемое соотношением (6.2) и равное при ЧМ
.
Недопустимо, чтобы были меньше . Поэтому значение индекса ограничено сверху условием работы демодулятора выше порога. Решить уравнение (6.6) относительно , положив = , а равным допустимому, не удается, так как значение не известно, поскольку оно зависит от величины . Рекомендуется следующий порядок определения . Ориентировочное значение =10. Полагая, что =10, 
=2 , и, используя соотношения (6.3) и (6.4), можно определить ориентировочное значение , при котором демодулятор будет работать в области порога:
; 
. (6.7)
Затем, используя выражение (6.6), строят графики 5 зависимостей для значения , полученного выше, и значений 
и 
. По полученным зависимостям определяют значение , при котором равно допустимому, а находится в области или несколько выше порога.
Если же полоса пропускания канала связи 
задана, то значение должно удовлетворять условию ограниченности полосы частот канала связи
. (6.8)
Решив уравнение (6.8) относительно , получают 
, удовлетворяющее условию (6.8).
Окончательно выбирают , как меньшее из 
и . Для выбранного значения строят график , если для этого раньше график не был рассчитан. На этом графике указывают точку, соответствующую заданному и требуемому .
Найденное для АМ, БМ, ОМ, ЧМ отношение , где 
- мощность шума, определяемая в полосе частот модулированного сигнала 
, позволяет определить требуемое отношение
(6.9)
на входе демодулятора. Ширина спектра модулированного сигнала определяется следующими соотношениями:
при ОМ 
;
при БМ и АМ 
; (6.10)
при ЧМ 
.
6.2. Расчет помехоустойчивости демодулятора сигнала дискретной модуляции
Исходные данные:
- вид модуляции и способ приема;
- канал связи с постоянными параметрами и аддитивным белым гауссовским шумом со спектральной плотностью мощности 
;
- допустимая вероятность ошибки двоичного символа (бита) в канале ;
- длительность двоичного символа 
.
Требуется рассчитать:
- зависимость вероятности ошибки бита от отношения сигнал/шум на входе демодулятора 
и построить график этой зависимости;
- значения требуемых отношений сигнал/шум на входе демодулятора и 
, обеспечивающих допустимую вероятность ошибки бита .
Помехоустойчивость демодулятора сигнала дискретной модуляции определяют вероятностью ошибки сигнала 
либо вероятностью ошибки двоичного символа р. Вероятности ошибки и р зависят от вида модуляции, способа приема, отношения энергии сигнала к удельной мощности помехи и характеристик канала связи.
Для двоичных сигналов и р совпадают. Формулы для расчета вероятности ошибки символа при передаче двоичных сигналов по гауссовскому каналу связи с постоянными параметрами приведены в [1, разд. 6.5, 6.6; 2, табл. 15.2].
В табл. 5 приведены формулы, определяющие вероятность ошибки двоичного символа при передаче многопозиционных сигналов по гауссовскому каналу связи с постоянными параметрами. Сначала были получены формулы вероятности ошибки сигнала путем суммирования вероятностей попадания суммы 
в области сигналов 
, 
, 
. Затем был произведен пересчет в р, в предположении, что используется манипуляционный код Грея.
Таблица 5. Вероятности ошибки для различных способов приёма модулированных сигналов
| Способ приема | Вид модуляции | Вероятность ошибки двоичного кода |
| Коге-рентный | ФМ-4 | 
|
| ОФМ-4 | 
| |
| КАМ-16 | 
| |
| Некоге-рентный | ЧМ-М |  ; 
|
Во всех формулах приняты обозначения:
- отношение энергии сигнала, затрачиваемой на передачу одного двоичного символа 
к удельной мощности шума ;
;
- средняя мощность сигнала;
- длительность двоичного символа.
- функция Крампа.
Можно пользоваться формулой аппроксимации функции Крампа.
.
Для заданного вида модуляции и способа приема необходимо рассчитать и построить график зависимости . При построении графика масштаб для р должен быть логарифмическим, а для значений 
, выраженных в децибелах 
, - линейный. При расчетах увеличивают с шагом дБ от 2 дБ до тех пор, пока р не окажется меньше значения . Пример рассчитываемой зависимости дан на рис. 4 (приложение А) - кривая .
Если в канале связи не используется помехоустойчивое кодирование, то допустимая вероятность ошибки символа на выходе демодулятора равняется значению , найденному при расчете параметров ЦАП либо декодера простого кода. Определите требуемое отношение сигнал/шум для системы передачи без кодирования , при котором 
. Покажите на графике значения и . Рассчитайте требуемое при этом отношение 
на входе демодулятора
. (6.15)
В случае модуляции АМ-2, при которой один из сигналов равен нулю, а сигналы равновероятны, отношение сигнал/шум определяется
(6.16)
7. ВЫБОР КОРРЕКТИРУЮЩЕГО КОДА И РАСЧЕТ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОТИ СИСТЕМЫ СВЯЗИ С КОДИРОВАНИЕМ
Корректирующие коды позволяют повысить помехоустойчивость и тем самым уменьшить требуемое отношение сигнал/шум на входе демодулятора при заданной вероятности ошибки передаваемых символов. Величина, показывающая во сколько раз (на сколько дБ) уменьшается требуемое кодирование, называется энергетическим выигрышем кодирования (ЭВК).
Каналы связи с помехоустойчивым кодированием и без него удобно сравнивать, если в качестве отношения сигнал/шум использовать отношение энергии сигнала, затрачиваемой на передачу одного информационного символа 
, к удельной мощности шума :
(7.1)
Так, если в канале связи без кодирования требуемое отношение сигнал/шум для обеспечения заданной вероятности ошибки обозначим , а в канале связи с кодированием - 
, то ЭВК будет определяться
или