Кванттық гармоникалық осциллятор. Нөлдік энергия. Бөлшектердің потенциалды тосқауыл арқылы өтуі.

Классикалық физикадан гармоникалық осциллятор – квазисерпімді күштің әсерінен қозғалыс жасайтын жүйе. Потенциал энергиясы U=Kx2/2, K=mω2 екенін ескерсек U= mω2x2/2. Бұл жағдайда бір текті шредингер теңдеуі былайша жазылады: теңдеудің шешімі тек энергияның меншікті мәндері мына шамаға тең болғанда ғана табылады. E=(n+1/2)ђω, (n=0,1,2,3,…)

Квант осциллятор энергиясының квантталғанын көреміз. Суретте гармоникалық осциллятордың энергетикалық осциллятордың энергетикалық деңгейлері көрсетілген. Энергия деңгейлері бір-бірінен бірдей ара қашықтықта орналасқан. Потенциал шұңқырының ең төменгі жағдайында n=0-ге тең болмайды оның шамасы E0=1/2* ђω өрнегімен анықталады. Бұны ңөлдік энергия деп атайды. Нөлдік энергияның бар екенін жарық толқынының кристалдан шашырауынан білуге болады. Классикалық теория бойынша температура азайған сайын кристалдағы атомның тербелісі амплитудасы үздіксіз азайып және Т->0 ұмтылғанда тербеліс тоқталып, жарық шашырамауға тиіс. Тәжірбиеде Т->0 ұмтылғанда жарықтың шашырау интенсивтілігі бір тұрақты шамаға ие болады, бұл нөлдік тербелістің барлығына дәлел болып табылады.

Кванттық және классикалық физикалардың айырмашылығын көрсететін тунельдік эффект болып табылады. Классикалық механикада егер бөлшектің энергиясы тосқауыл энергиясынан аз болса бөлшек тосқауылдан өте алмайды, ал кванттық физикада өту ықтималдылығы бар. Бұл бөлшектің толқындық қасиетімен түсіндіріледі.

31. Сутегі атомының энергетикалық деңгейлері. Кванттық сандардың толық саны. Паули принципі. Потенциал U(r)=e2z/r тең ядроның центрлік өрісіндегі қозғалатын электронды қарастырайық. Егер z>1 болса сутек тәріздес атом дар, ал z=1 сутегі атомын аламыз. Өріс центрін – симетриялы болғандықтан сфералық кординатта жүйесін қолдануға тиімді. Сфералық координатасындағы Шредингер теңдеуі

(r2 )+ + = =Eᴪ

Теңдеудің шешімі болу үшін ᴪ функциясы бір орында бір мәнді шектеулі үздіксіз болу керек. Энергияның мәні Еn= - . Яғни Бор теориясымен сәйкес болады n бас квант саны,мәні n=1,2…

Берілген n үшін l ие мәндерге ие болады l=0,1…n-1. l саны азимуталдық кванттық сан д.а.l cаны электронның орбита бойымен айналу пішіндерінің түрлерін көрсетеді.l=0 болса сопақ эллипс . l=n-1 дөңгелеккеlжақын эллипс. Орбиталды момент импульсінің шамасы кез келген l шамасы Le =ђ

Үшінші кванттық сан магниттік кванттық сан деп m әріпімен белгілейміз. Ол берілген l үшін – l мен l аралығында жатады. Мәні L=mђ

Cонымен n- энергияны сипаттайтын бас кванттық сан, l -импульс моментін сипаттайтын азимуталдық кванттық сан, m-импульс моментінің сыртқы өріске проекциясын сипаттайтын магниттік кванттық сан.

Электронның спині. Магнит өрісінде атомдар деңгейінің жіктелуін бірінші рет Штерн мен Герлах зертеген.Тәжірибеде атомдар шоғы бір текті емес магнит өрісінен өткізілген.Бұндай магнит F=ϻdB/dz күш әсер етеді. Егер сутегі атомы S күйінде болғанда (l=0) магнит моменті 0-ге тең. Орбиталды моменті сияқты спиндік кванттық санын S деп және 2S+1 энергетикалық күйінде бола алады.Электронның меншікті импульс моментінің шамасы

M=ђ =ђ

немесе одан да көп электрондар бір мезгілде бір күйде бола алмайды.Паули принципі элементтердің электрондық конфигурациясын құрғанда. Кванттық және классикалық физикалардың айырмашылығын көрсететін тунельдік эффект болып табылады.классикалық механикада егер бөлшектің энергиясы тосқауыл энергиясынан аз болса бөлшек тосқауылдан өте алмайды, ал кванттық физикада өту ықтималдылығы бар. Бұл бөлшектің толқындық қасиетімен түсіндіріледі.

U биіктігі, d ені болатын потенциалдық тосқауылдың сол жағынан келіп түсетін бөлшекті қарастырайық.сурет

Бөлшектің энергиясы тосқауыл потенциялының энергиясынан кем Е<U. Шұңқыр ішіндегі бөлшек үшін Шредингер теңдеуін жазайық

Осы екі дифференциалдық теңдеулердің шешімі

I –аймақ үшін х<0,

II- аймақ үшін 0<Х<d

III – аймақ үшін х>d ᴪ3(x) =

Мұндағы К1= , K2=

A1 және тосқауылға түсетін ,шағылатын де Бройль толқындары. 0 шекарасынан сынып өткен толқын, ал

Х=a шекарасынан шағылған толқын тосқауылдан өтіп қайта оралмайтын толқын. Тосқауыл мен бөлшектің айырым энергиясы U~E мен тосқауылдың ені көп болып және бөлшектің массасы ауырлау болса өту ықтималдығы аз болады. Бөлшек энергиясының тосқауыл биіктігінің энергиясынан аздығына қарамастан тосқауылды өту құбылысы тунелдік эффект д.