Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
Повторные независимые испытания
На практике приходится сталкиваться с такими задачами, которые можно представить в виде многократно повторяющихся испытаний, в результате каждого из которых может появиться или не появиться событие . При этом интерес представляет исход не каждого "отдельного испытания, а общее количество появлений события
в результате определенного количества испытаний. В подобных задачах нужно уметь определять вероятность любого числа
появлений события
в результате
испытаний. Рассмотрим случай, когда испытания являются независимыми и вероятность появления события
в каждом испытании постоянна. Такие испытания называются повторными независимыми.
Примером независимых испытаний может служить проверка на годность изделий, взятых по одному из ряда партий. Если в этих партиях процент брака одинаков, то вероятность того, что отобранное изделие будет бракованным, в каждом случае является постоянным числом.
Формула Бернулли
Воспользуемся понятием сложного события, под которым подразумевается совмещение нескольких элементарных событий, состоящих в появлении или непоявлении события в
–м испытании. Пусть проводится
независимых испытаний, в каждом из которых событие
может либо появиться с вероятностью
, либо не появиться с вероятностью
. Рассмотрим событие
, состоящее в том, что событие
в этих
испытаниях наступит ровно
раз и, следовательно, не наступит ровно
раз. Обозначим
появление события
, a
— непоявление события
в
–м испытании. В силу постоянства условий испытания имеем
Р{А1}= Р{А2} = . . . = Р{Аn} = P,
P {ˉA1} = P {ˉA2} = . . . = P {ˉAn} = 1 – p = q
Событие может появиться
раз в разных последовательностях или комбинациях, чередуясь с противоположным событием
. Число возможных комбинаций такого рода равно числу сочетаний из
элементов по
, т. е.
. Следовательно, событие
можно представить в виде суммы сложных несовместных между собой событий, причем число слагаемых равно
:
Bm = A1A2 . . . AmˉAm+1 . . . ˉAn + . . .+ ˉA1ˉA2 . . .ˉAn-m An-m+1 . . .An,
где в каждое произведение событие входит
раз, а
--
раз.
Вероятность каждого сложного события, входящего в формулу (3.1), по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна . Так как общее количество таких событий равно
, то, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем вероятность события
(обозначим ее
)
=
or
= n!/m!(n – m)! все это умножить на P ͫ*qͪˉ ͫ
(3.2)
Формулу (3.2) называют формулой Бернулли, а повторяющиеся испытания, удовлетворяющие условию независимости и постоянства вероятностей появления в каждом из них события , называют испытаниями Бернулли, или схемой Бернулли.
Пример 1. Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке деталей на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску.
Решение. Условие задачи удовлетворяет требования схемы Бернулли. Поэтому, полагая , по формуле (3.2) получаем