Решение уравнения Шредингера для атома водорода.
Решение уравнения Шрёдингера для водородного атома использует факт, что кулоновский потенциал является изотропным, то есть не зависит от направления в пространстве, другими словами, обладает сферической симметрией. Хотя конечные волновые функции (орбитали) не обязательно сферически симметричны, их зависимость от угловой координаты следуют полностью из изотропии основного потенциала: собственные значения оператора Гамильтона можно выбрать в виде собственных состоянийоператора углового момента. Это соответствует тому факту, что угловой момент сохраняется при орбитальном движении электрона вокруг ядра. Отсюда следует, что собственные состояния гамильтониана задаются двумя квантовыми числами углового момента l и m (целые числа). Квантовое число углового момента l может принимать значения 0, 1, 2… и определяет величину углового момента. Магнитное квантовое число может принимать m = −l, …, +l; оно определяет проекцию углового момента на (произвольно выбранную) ось z.
В дополнение к математическим выражениям для волновых функций полного углового момента и проекции углового момента, нужно найти выражение для радиальной зависимости волновой функции. В потенциале 1/r радиальные волновые функции записываются с использованием полиномов Лагерра). Это приводит к третьему квантовому числу, которое называется основным квантовым числом n и может принимать значения 1, 2, 3… Основное квантовое число в атоме водорода связано с полной энергией атома. Заметим, что максимальное значение квантового числа углового момента ограничено основным квантовым числом: оно может изменяться только до n − 1, то есть l = 0, 1, …, n−1.
Из-за сохранения углового момента состояния с одинаковыми l, но различными m в отсутствие магнитного поля имеют одну и ту же энергию (это выполняется для всех задач с аксиальной симметрией). Кроме того, для водородного атома состояния с одинаковыми n, но разными l также вырождены (то есть имеют одинаковую энергию). Однако это свойство — особенность лишь атома водорода (и водородоподобных атомов), оно не выполняется для более сложных атомов, которые имеют (эффективный) потенциал, отличающийся от кулоновского (из-за присутствия внутренних электронов, экранирующих потенциал ядра).
Если мы примем во внимание спин электрона, то появится последнее, четвёртое квантовое число, определяющее состояния атома водорода — проекция углового момента собственного вращения электрона на ось Z. Эта проекция может принимать два значения. Любое собственное состояние электрона в водородном атоме полностью описывается четырьмя квантовыми числами. Согласно обычным правилам квантовой механики, фактическое состояние электрона может быть любой суперпозицией этих состояний. Это объясняет также, почему выбор оси Z для квантования направления вектора углового момента является несущественным: орбиталь для данных l и 
полученных для другой выделенной оси 
всегда представляется как подходящая суперпозиция различных состояний с разными m (но тем же самым l), которые были получены для Z.
Рассмотрим сейчас решение уравнения Шрёдингера для атома водорода. Так как потенциальная функция электрона в атоме водорода имеет вид 
где e — заряд электрона (и протона), r — радиус-вектор, то уравнение Шрёдингера запишется следующим образом:
Здесь ψ — волновая функция электрона в системе отсчёта протона, m — масса электрона, 
— постоянная Планка,E — полная энергия электрона, 
— оператор Лапласа. Так как потенциальная функция зависит от r, а не от координат по отдельности, удобно будет записать лапласиан в сферической системе координат 
В ней он выглядит следующим образом:
Уравнение Шрёдингера в сферических координатах:
В этом уравнении 
— функция трёх переменных Разделим его на три более простых уравнения. Для этого представим функцию как произведение трех функций: 
Эти функции будем обозначать просто 
Тогда:
После подстановки значений частных производных в уравнение Шрёдингера получим:
Умножим уравнение на 
Второе слагаемое тут зависит только от φ. Перенесём его в правую часть равенства.
Равенство возможно, когда обе части равны какой-то постоянной величине. Обозначим её 
Следовательно:
Решением этого уравнения являются функции
Угол φ может изменяться от 0 до 2π. Функция 
должна быть периодической с периодом 2π. Это возможно, только если 
Таким образом, из решения уравнения Шрёдингера получаем значение одного из квантовых чисел (конечно, из него можно получить их все). Число 
называется магнитным квантовым числом.
Далее, интегрируя квадрат модуля функции от 0 до 2π и приравнивая полученное выражение к единице, получим, что 
Далее рассмотрим левую часть уравнения (1). Она, конечно, равна
Разделим уравнение на 
После аналогичного вышеуказанному перенесению второго слагаемого в правую часть и обозначения величины, которой равны эти части, через 
получаем
Решение этих двух последних уравнений приводит к значениям l и n соответственно. Три квантовых числа в совокупности полностью описывают состояния электрона в атоме водорода.
Модуль полной энергии электрона в стационарном состоянии в атоме водорода обратно пропорционален 
Число nназывается главным квантовым числом. Оно может иметь значения от 1 до 
Его связь с энергией см. ниже.
Число l называется азимутальным квантовым числом и определяет орбитальный момент количества движения электрона и форму электронного облака; может иметь значения от 0 до n − 1 (n здесь относится к энергетическом уровню, на котором находится рассматриваемый электрон).
Магнитное квантовое число определяет проекцию орбитального момента количества движения на выбранную ось в магнитном поле. Эта проекция равна 
____________________________________________________________________________________
Энергию 
можно найти в простой модели Бора, с массой электрона 
и зарядом электрона e:
, где
h — постоянная Планка, 
электрическая постоянная. Величина E0 (энергия связи атома водорода в основном состоянии) равна 13,62323824 эВ = 2,182700518·10−18 Дж. Эти значения несколько отличаются от действительного значения E0, поскольку в расчёте не учтена конечная масса ядра и эффекты квантовой электродинамики.