КОЛЕБАНИЯ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ
Цель работы: изучение основных закономерностей колебаний систем с несколькими степенями свободы на примере двух связанных маятников.
В природе и технике широко распространены колебательные системы, взаимодействующие между собой. К таким системам относятся ионы в кристаллической решетке, сложные молекулы, различные технические конструкции.
Простейшей системой с двумя степенями свободы в механике являются два маятника в виде стержня длиной l с грузами m (диск) на его концах.
Маятники связаны невесомой пружиной с коэффициентом жесткости k. Пружина находится на расстоянии d от точек подвеса, расположенных на горизонтальной прямой (рис.1).
При движении маятников в одной вертикальной плоскости состояние такой системы полностью описывается двумя независимыми параметрами -углами j1и j2 отклонения маятников от вертикали, т.е. система имеет две степени свободы.
Уравнение движения для каждого маятника можно получить из общего уравнения динамики вращательного движения стержня с грузом вокруг неподвижной оси:
. (1)
Здесь j - угол поворота, M - момент действующих на тело сил относительно оси подвеса, e - угловое ускорение, I - момент инерции каждого маятника относительно оси подвеса.
На каждый маятник действует сила тяжести m×g, приложенная к центру масс, и сила упругости f=-k×x, k - коэффициент жесткости пружины. Величина деформации x при малых j1 и j2 и в соответствии с рис.1 найдется как длина дуги, опирающаяся на прямые d;
x = d×(j2 - j1), а сила f = k×d×(j2 - j1).
Соответствующие этим силам вращающие моменты сил для малых углов колебаний имеют вид :
Mтяж = - m×g×l×Sinj » - m×g×l×j, (2)
Mупр1 = k×d×(j2 - j1)×d = kd2(j2 - j1) = - Mупр2 .
Момент сил отрицателен, если он возвращает маятник в положение равновесия. Уравнение (1) для каждого из маятников запишется:
(3)
Маятники могут длительное время колебаться сохраняя, например, положение, изображенное на рис.1. В этом случае fупр=k×d×(j2-j1) или так, как показано на рис.2 fупр = k×d×(j2+j1).
Поэтому введем новые переменные
j1 + j2 = Q1 и j2 - j1 = Q2, (4)
характеризующие относительное движение маятников. Суммируем левые и правые части уравнений (3), поделим сумму на I и используем новые переменные. Это нам даст:
(5)
А если в (3) вычтем из второго уравнения первое, то получим :
(6)
Каждое из уравнений (5) и (6) аналогично дифференциальному уравнению для гармонического колебания (см. лаб. раб. № 1-5-1) 
.
Собственные частоты колебаний равны:
; 
(7)
Момент инерции маятника складывается из момента инерции стержня массой m и длиной l0×(Iст = mст×l02/3),момента инерции диска радиусом R и массой m, удаленного на расстояние l от оси подвеса (Iд = mд×l2+ mд×R2/2, теорема Штейнера).
I = mст×l02/3 + mд×l2 + mд×R2/2, (8)
Решения уравнений (5) и (6), как известно, имеют вид:
Q1 = А×Cos(wo1×t + a1), Q2 = B×Cos(wo2×t + a2 (9)
где A и B амплитуды изменения Q1 и Q2 , а a1 и a2 - начальные фазы соответственно.
Из (9) и (4) находим закон изменения угла j для каждого маятника:
j1 = 1/2×(Q1 - Q2) = A/2×Cos(wo1×t + a1) - B/2×Cos(wo2×t + a2) (10)
j2 = 1/2×(Q1 + Q2)= A/2×Cos(wo1×t + a1) + B/2×Cos(wo2×t + a2)
Из (10) видно, что колебания каждого маятника складываются из двух независимых колебаний с частотами wo1 и wo2, определяемых выражениями (7), которые носят название нормальных частот или мод, при этом, как видно из (7), wo2 > wo1. Если обратиться к уравнениям (7) ,то в первом из них выражена собственная частота свободных незатухающих колебаний физического маятника 
. Когда упругая связь не действует, т. е. j2 - j1= 0, маятники движутся синхронно в одном направлении параллельно друг другу (синфазно).
Во втором уравнении частота wo2 > wo1 за счет действия упругой связи, которая будет максимальна, если маятники движутся точно в противофазе: навстречу друг другу или друг от друга (рис. 2).
При любом другом движении осуществляются колебания с частотой wk, лежащей в диапазоне от wo1 до wo2. Если вклад сил упругости в изменение частоты невелик, т.е. 2×k×d2/I < m×g×l/I, то частоты wo1 и wo2 близки, и результат сложения колебаний представляется в виде биений. При этом амплитуда медленно изменяется с частотой биений:
wб = wo2 - wo1 или nб = n2 - n1, (11)
т.к. w = 2×p×n.
Если с помощью внешней периодической силы, частота которой будет возрастать от нуля, действовать на связанную колебательную систему, то при частотах вынуждающей силы n, близких к n1 и n2будет наблюдаться два резонанса, т.е. резкое увеличение амплитуды колебаний маятников. Зависимость A= f(n) будет иметь два максимума.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Общий вид прибора представлен на рис.3.
 |
Основание 1 оснащено регулируемыми ножками для вертикальной установки прибора. В основании закреплена колонка 2, на которой укреплены втулка 3 и кронштейн 4. На стержне 5 втулки находятся три подвески 6 с шариковыми подшипниками. К ним подвешены два маятника и стержень 7, возбуждающий колебания.
Маятник состоит из стержня 8 и перемещающегося груза 9. Маятники связаны друг с другом при помощи двух пружин 10, 11, закрепленных в С-образной скобе, которую можно перемещать вдоль стержней маятников.
Возбуждение колебаний осуществляется с помощью приводного диска, закрепленного на валу электродвигателя, который перемещая стержень 7, связанный при помощи двух пружин 10, 11 со стержнем маятника 6, возбуждает его колебания.
Электродвигатель находится в блоке управления и измерений 12. К нижнему кронштейну прикреплена угловая шкала 13, при помощи которой определяется амплитуда колебаний маятников. К нему также прикреплен фотоэлектрический датчик 14, световой поток которого пересекает стержень одного из совершающих колебания маятников.