Анализ и обработка результатов измерений.
Т.С. Китаева, А.В. Попов
«Определение момента инерции маятника Максвелла»
Методические указания к выполнению лабораторной работы № 4
по курсу механики, молекулярной физики и термодинамики.
Калуга 2007 г.
Правила техники безопасности.
Необходимо выполнять общие правила безопасности труда, относящиеся к устройствам, в которых используется напряжение до 250 
.
Эксплуатация установки допускается при наличии заземления. При любых неполадках в установке обращаться к дежурному лаборанту или преподавателю.
Целью данной работы является экспериментальное определение момента инерции маятника Максвелла.
Теоретическая часть.
Момент инерции системы материальных точек относительно некоторой неподвижной оси вращения определяется равенством:
, (1)
где 
- масса 
-й точки системы;
- расстояние от -й точки до оси вращения.
Для твёрдого тела:
, (2)
где 
- элемент массы твёрдого тела;
- расстояние от элемента массы до оси вращения;
- элементарный объём;
- расстояние от элементарного объёма до оси вращения;
- плотность вещества тела ( 
).
Момент инерции тела относительно произвольно заданной оси вращения определяется с помощью теоремы Штейнера:
, (3)
где 
- масса тела;
- момент инерции данного тела относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси;
- расстояние между указанными осями.
Используя основное уравнение динамики вращательного движения, момент инерции тела относительно неподвижной оси можно вычислить по формуле:
, (4)
где 
- результирующий момент действующих на тело внешних сил относительно данной неподвижной оси;
- угловое ускорение тела.
Момент инерции тела относительно заданной оси и угловая скорость 
позволяют вычислить кинетическую энергию вращательного движения этого тела:
(5)
Экспериментальное определение момента инерции маятника Максвелла основано на законе сохранения энергии в механике: полная энергия изолированной консервативной системы - величина постоянная.
Маятник Максвелла (Рис. 1.) представляет собой диск (маховик 1), жестко закреплённый на осевом стержне 2, висящем на двух нитях 3, прикрепленных к опоре 4.
Вращая маятник Максвелла вокруг его оси и тем самым наматывая нити 3 на осевой стержень 2, можно поднять его на некоторую высоту 
. В этом случае маятник, обладающий массой , будет иметь потенциальную энергию 
( 
- ускорение свободного падения).
Рис. 1. Маятник Максвелла. Предоставленный затем самому себе, маятник начнёт раскручиваться, и его потенциальная энергия начнёт переходить в кинетическую энергию поступательного движения 
и вращательного движения 
. Таким образом, на основании закона сохранения механической энергии имеем:
, (6)
где 
- момент инерции маятника относительно его оси вращения;
- высота, на которую опустилась ось маятника;
- скорость спуска оси маятника в тот момент, когда ось опустилась на расстояние ;
- угловая скорость маятника в тот же момент времени.
Из уравнения (6) следует:
(7)
Раскручивание нитей с осевого стержня маятника совершается без их проскальзывания. Поэтому
, (8)
где - радиус осевого сечения стержня;
- диаметр нити.
В тоже время, поскольку маятник опускается с ускорением 
, не равным 
( 
), скорость на расстоянии от начального верхнего положения можно определить с использованием зависимости:
(9)
Подставим (8) и (9) в (7). Тогда момент инерции равен:
(10)
Учитывая, что 
, 
, окончательно получим:
, (11)
где - диаметр осевого стержня, 
;
- диаметр нити, 
;
- время спуска оси маятника на расстояние ;
- масса маятника;
- ускорение свободного падения.
С другой стороны, теоретическое значение момента инерции маятника Максвелла можно рассчитать по формуле как сумму моментов инерции составляющих его отдельных элементов:
, (12)
где 
- масса диска (маховика 1) маятника, включая массу части осевого стержня 2 внутри его;
- масса части осевого стержня вне маховика;
- масса кольца 5;
- радиус осевого стержня, 
;
, 
- внутренний и внешний радиусы кольца, 
, 
.
Экспериментальная часть.
Общий вид установки для определения момента инерции маятника Максвелла показан на Рис. 2.
Основание 1 снабжено регулируемыми ножками 2, которые позволяют произвести выравнивание установки. В основании закреплена колонка 3, к которой прикреплён неподвижный верхний кронштейн 4 и подвижный нижний кронштейн 5. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик № 1 (7) и вороток 8 для закрепления и регулирования длины бифилярной подвески маятника.
Нижний кронштейн 5 вместе с прикреплённым к нему фотоэлектрическим датчиком № 2 (9) можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в выбранном положении.
Маятник 10 прибора представляет собой диск, закреплённый на оси, на которой накладываются сменные кольца 11, позволяющие изменять момент инерции системы.
Маятник с наклонным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина маятника определяется по шкале на колонке 3. С целью облегчения этого измерения нижний кронштейн снабжён указателем 13, помещённым на высоте оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика.
Рис. 2. Общий вид экспериментальной установки для определения момента инерции маятника Максвелла.
Перед проведением эксперимента проверяется параллельность оси маятника основанию прибора. Если необходимо провести корректировку положения оси, следует ослабить нижнюю гайку воротка 8 и вращением верхней гайки в ту или другую сторону добиться параллельности оси и основания, после чего нижнюю гайку воротка затянуть. Для правильного определения времени спуска маятника и длины маятника по указателю 13 необходимо проверить, что нижний край посаженного на диск маятника стального кольца (маятник в крайнем нижнем положении) находится на расстоянии 
ниже оптической оси фотоэлектрического датчика № 2 (9), отмеченной на нижнем кронштейне 5 чёрной горизонтальной чертой. Если величина 
не соответствует указанному значению, необходимо ослабить винт крепления нижнего кронштейна 5 и, передвигая его по колонке 3, добиться получения .
Изменение длины маятника осуществляется с помощью воротка 8 путём навивки на его ось избыточной длины нити или снятия части её витков. На лицевой панели установки находятся следующие органы управления:
«Сеть» - включатель-выключатель сети; при включении светится цифрой индикатор и лампочки обоих фотоэлементов;
«Сброс» - клавиша обнуления цифрового индикатора (секундомера);
«Пуск» - клавиша управления электромагнитом 6; при нажатии клавиши маятник освобождается и начинается отсчёт времени спуска.
Выполнение эксперимента.
1. На диск маятника наложить выбранное кольцо, прижимая его до упора диска в буртик кольца.
2. Нажать клавишу «Сеть».
3. Отжать клавишу «Пуск».
4. Вращая маятник, намотать на его ось нить подвески, следя за тем, чтобы она наматывалась равномерно в один слой с обеих сторон оси.
5. Зафиксировать маятник при помощи электромагнита 6 и затем дополнительно повернуть его в направлении вращения на угол 
. Этим устраняется возможная слабина нити.
6. Нажать клавишу «Сброс».
7. Нажать клавишу «Пуск».
8. Считать показания электронного секундомера.
9. Пункты 3 
8 повторить 5 раз.
10. По шкале на колонке 3 определить длину маятника .
11. Измерить диаметры осевого стержня и нити и .
12. Определить массу маятника (массы отдельных его элементов нанесены на них).
Анализ и обработка результатов измерений.
1. Определить среднее значение времени падения маятника по формуле:
, (13)
где 
- значение времени, полученное при -ом замере, 
;
- число выполненных замеров, 
.
2. По формуле (11) определить экспериментальное значение момента инерции маятника Максвелла, 
в СИ.
3. Определить относительную погрешность измерений:
, (14)
где 
, 
, 
, 
, 
.
Если одно из слагаемых в формуле (14) более чем вдвое превосходит другое, то меньшим можно пренебречь.
4. Записать окончательный результат:
(15)
5. Определить теоретическое значение момента инерции маятника Максвелла по формуле (12). Массы отдельных элементов маятника указаны па них. Размеры , и измерить с помощью штангенциркуля (или использовать результаты, указанные на стр. 5).
6. Определить, попадает ли теоретическое значение в записанный по формуле (15) интервал. Если не попадает, проанализировать возможные систематические погрешности.
Контрольные вопросы.
1. Дать определение момента инерции материальной точки, системы материальных точек, абсолютно твёрдого тела (А.Т.Т.); указать единицы измерения в СИ. Каков физический смысл момента инерции тела?
2. Записать основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси вращения.
3. Сформулировать теорему Штейнера.
4. На каком законе основано экспериментальное определение момента инерции маятника Максвелла?
Литература.
1. Савельев И.В. «Курс общей физики», т. 1. М., Наука, 1982, 432 с.
2. Андреев А.Г., Вишняков В.И., Гладков Н.А., Кириллов А.М., Климов Л.Н. «Определение момента инерции тел». Материалы к лабораторной работе М-10. МВТУ, 1987.
3. Савельев И.В. «Курс общей физики в пяти книгах». М., АСТРЕЛЬ, А.С.Т., 2003.