Краткие теоретические сведения
Процедура ортогонализации Грамма-Шмидта и разложение сигнала по ортонормальным системам функций
Методические указания к выполнению лабораторных работ
по курсу «Введение в теорию сигналов» для студентов
направления 230401,квалификации 23040165
«Инженер-математик»
Ульяновск 2009
СОДЕРЖАНИЕ
1. Цель работы.. 3
2. Краткие теоретические сведения. 3
3. Задание на лабораторную работу. 19
4. Содержание отчета. 21
5. Список контрольных вопросов. 21
1. Цель работы
Основной целью лабораторной работы является изучение способов ортогонализации и ортонормированных систем функций, аппроксимация заданного сигнала с помощью ортонормированных функций и изучение влияния количества членов ряда на качество аппроксимации сигнала.
Краткие теоретические сведения
При распространении положений векторного базисного пространства на функциональное пространство , в качестве координатного базиса пространства мы должны использовать совокупность функций
, в пределе - бесконечную, которая должна быть системой ортогональных функций
, т.е. все функции на этом отрезке должны быть взаимно ортогональны:
Система ортогональных функций на интервале будет ортонормальной, если все функции системы при
имеют единичную норму, т.е. выполняются условия:
.
Эти условия можно записать в следующей обобщенной форме:
.
Система ортогональных функций всегда может быть превращена в ортонормальную путем нормировки, т.е. деления всех функций на их норму.
Разложение сигнала в ряд
Произвольный сигнал (пространство Гильберта), заданный на интервале
, может быть разложен в ряд по упорядоченной системе ортонормированных базисных функций
:
. (1)
Для нахождения значений коэффициентов умножим обе части данного выражения на базисную функцию
с произвольным номером
и проинтегрируем результаты по переменной
, при этом получим:
.
С учетом ортонормальности функций , в правой части этого равенства остается только один член суммы с номером
при
, который, по левой части уравнения, представляет собой скалярное произведение сигнала и соответствующего
базисного вектора, т.е. проекцию сигнала на соответствующее базисное направление:
. (2)
Таким образом, в геометрической интерпретации коэффициенты представляют собой проекции вектор - сигнала
на соответствующие базисные направления
, т.е. координаты вектора
по координатному базису, образованному системой ортогональных функций
, в пределе - бесконечномерной. При практическом использовании количество членов ряда (1) ограничивается определенным значением
, при этом для любого значения
совокупность коэффициентов
обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.
Используя понятия, введенные ранее, рассмотрим теперь задачу сопоставления произвольному сигналу с ограниченной энергией, т.е. временной функции (возможно, комплексной) ее численного представления. Задача сводится к нахождению подходящего отображения пространства
в пространство
, причем
обычно выбирается компромиссно, с учетом точности и экономичности представления. Поскольку число измерений пространства
бесконечно, а
конечно, отображение должно быть типа «много в одно»; это подразумевает такую степень приближения, при которой произвольный сигнал из
не может иметь представления в
, отличного от представления всех других сигналов. К таким изображениям естественно подходить с позиций отношения эквивалентности. Мы разбиваем пространство
на множества эквивалентности, каждому из которых взаимнооднозначно соответствует некоторая точка в
.
Обычный подход к этой задаче состоит в выборе некоторого - мерного подпространства из
. Пусть
есть система линейно независимых функций в
, так что при
условие
выполняется почти всюду в том и только в том случае, если при всех
.
Обозначим через линейное подпространство, натянутое на эти функции. Если рассматриваемый сигнал принадлежит
, то он может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации
:
и набор чисел (вектор - строка)
образует искомое представление в
. Поскольку
есть пространство со скалярным произведением
,
то отношение между и
может быть выражено в матричной форме:
или
,
где .
Применяя другую запись, введем в взаимные базисные функции
, которые могут быть представлены в виде линейной комбинации
;
,
причем
,
или в матричной форме
.
Используя взаимный базис, можно теперь написать
.
При определении базисных функций для представления сигнала часто используют понятие нормы с весом, для того, чтобы обратить особое внимание на некоторый участок области определения функции.
– удовлетворяет условиям скалярного произведения, где
- вещественная неотрицательная функция, определенная на интервале
. А система функций
– ортонормальна с весом
, если
.
При этом базисные функции претерпевают небольшие изменения:
,
где – ортонормальны в обычном смысле, а
– с весом
.
Возможность разложения непрерывных сигналов и функций в обобщенные ряды по системам ортогональных функций имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ряда.
К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:
-для любого сигнала ряд разложения должен сходиться;
-при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;
-базисные функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;
-коэффициенты разложения в ряд должны вычисляться относительно просто.
Процедура ортогонализации Грамма-Шмидта
Важное значение имеет построение ортогональных базисов. Одним из наиболее употребляемых способов при этом является так называемый рекуррентный способ ортогонализации Грама-Шмидта, который заключается в следующем.
Пусть в задана система
линейно независимых векторов. Тогда система ортонормальных векторов
получается путем нормализации вспомогательных векторов
по следующему правилу:
,
,
,
,
,
,
. . . . . . .
,
.
Заметим, что если функции переставить местами, то получим другую, но тоже ортонормальную систему.
Рассмотрим пример. Применим процедуру Грамма-Шмидта к последовательности функций , определенных на отрезке
. В этом случае
.
,
,
,
,
,
,
,
,
. . . . . . .
Разложение сигнала по ортонормальным системам функций
Согласно теореме Дирехле, любой сигнал , имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода, и конечный по энергии на интервале
, может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной, т.е.:
.
Ортонормированные системы функций хорошо известны в математике. Выбор типа функций в качестве координатного базиса сигнального пространства, определяется удобством и простотой последующего использования при математической обработке сигналов.
Рассмотрим примеры наиболее употребляемых ортонормированных систем функций, используемых для представления сигналов с заданными областью определения и весовой функцией
.
1. Комплексные гармонические функции
Для комплексных гармонических функций
и
, функции уже ортогональны, следовательно, для получения ортонормальной системы их нужно нормировать, то есть поделить на норму соответствующей функции ряда. Найдем эту норму
.
Разложение
,
где
это представление рядом Фурье функций, которые ограниченных на отрезке , а также периодических с периодом, равным
. Однако, это представление применимо для функций, заданных на любом конечном интервале, который можно привести к интервалу
выбором подходящего масштаба по оси времени.
Рассмотрим пример. Пусть требуется с помощью гармонических функций представить сигнал, приведенный на рис. 1.(в дальнейшем будем рассматривать заданный сигнал).
Рис. 1.
Задан трапецевидный сигнал на интервале
(рис. 1):
Необходимо представить его рядом комплексных гармонических функций, то есть в виде
.
Комплексные гармонические функции
определены на интервале
, следовательно, и исходный сигнал должен быть задан на этом же интервале. Для этого подвергнем его сжатию в
раза, а затем произведем сдвиг на
влево. Новый сигнал будет описываться формулой
(рис. 2).
Рис. 2.
Коэффициенты разложения найдем по формуле
.
Затем переходим к исходному масштабу и получаем аппроксимированный исходный сигнал. Графики для различных приведены на рис. 3.
![]() |
![]() |
Рис. 3.
Найдем квадратическое отклонение исходного сигнала от его приближения:
для
;
для
.
Найдем максимальную ошибку приближения: . Для этого построим графики функции
для
и
(рис.4).
Рис. 4.
Из графиков видно, что:
для
и достигается при
;
для
и достигается при
.
2. Полиномы Лежандра
Для и
можно получить другую ортонормальную систему, применив процедуру Грамма-Шмидта к последовательности
. В результате получаются нормированные полиномы:
где - полиномы Лежандра. Эти полиномы можно также считать по формуле
или по рекуррентной формуле
.
Полином имеет
нулей, все они вещественны и находятся в интервале
.
Разложим рассмотренный выше сигнал. Коэффициенты разложения найдем по формуле
.
Аппроксимированный сигнал представлен на рис. 5.
![]() |
Рис. 5.
3. Полиномы Чебышева
Для и
полиномы
,
образуют ортонормальную систему, где
- полиномы Чебышева, заданные следующим образом:
Для
удовлетворяют рекуррентной формуле
.
Свойствополиномов Чебышева: из всех полиномов -ой степени, имеющих коэффициент при
, равный 1,
на интервале
наименее отклоняются от нуля.
Без весовой функции (рис. 6)
.
Рис. 6.
С весовой функции (рис. 7)
.
Рис. 7.
4. Функции Лагерра
Для и
полиномы
образуют ортонормальную систему. Здесь - полиномы Лагерра, задаваемые формулой
.
Они имеют вещественных нулей на
и удовлетворяют рекуррентному соотношению
.
Функции Лагерра имеют единичный вес и ортонормальны на
.
Разложим рассматриваемый нами сигнал. Коэффициенты разложения найдем по формуле
.
Аппроксимированный сигнал представлен на рис. 8.
Рис. 8.
Они также могут быть получены применением процедуры Грамма-Шмидта к последовательности . Функции Лагерра могут быть реализованы практически как импульсные реакции сравнительно простых физических цепей конечного порядка. Для этого их записывают как
.
Функции имеют преобразование Лапласа вида
,
откуда видно, что -ая функция Лагерра - это импульсная реакция цепи, один каскад которой имеет передаточную функцию
, а
последующих одинаковы с функцией
, т. е. это фазовращатели, не изменяющик энергию сигнала. Это так называемый «трансверсальный» фильтр, импульсная реакция которого есть произвольная линейная комбинация функций Лaгерра.
5. Функции Лежандра
Подстановка преобразует интервал
для величины
в интервал
для величины
, поэтому из полиномов Лежандра можно получить еще одну систему функций, ортонормальных на
(
- произвольный действительный положительный параметр). Функции Лежандра
образуют ортонормальную систему на с единичным весом. Преобразования Лапласа от этих функций имеют полюсы при
Графики аппроксимированного исходного сигнала для различных приведены на рис. 9. При этом параметр
подбирается произвольно в зависимости от исходного сигнала.
Рис. 9.
6. Функции Чебышева
Преобразованием Чебышева получаем функции
,
которые ортонормальны с весом на
. Полюсы преобразования Лапласа получаются при
Графики аппроксимированного исходного сигнала для различных приведены на рис. 10
![]() |
Рис. 10.
7. Функции Эрмита
Для и
полиномы
образуют ортонормальную систему. - полиномы Эрмита, которые задаются в виде
или рекуррентной формулой
.
Функций Эрмита
ортонормальны с единичным весом на и могут быть получены процедурой Грама-Шмидта к последовательности
.
Разложим рассматриваемый нами сигнал. Исходный сигнал можно предварительно задать на интервале (рис. 11).
Рис. 11.
Коэффициенты разложения найдем по формуле
.
Аппроксимированный сигнал представлен на рис. 12.
Рис. 12.
8. Функции Уолша
Для и
можно построить полную ортонормальную систему функций типа «прямоугольных волн». Каждая
-ая функция содержит
прямоугольных волн, поэтому в обозначении функции удобно использовать два индекса:
Эта система важна для практики, поскольку функции кусочно-постоянны и принимают лишь два значения ( или
). Подобные сигналы могут быть легко получены с помощью двоичных логических схем. Перемножение таких сигналов для получения, скажем, скалярного произведения производится очень просто, с помощью ключа, изменяющего полярность и включаемого в нужные моменты времени. Заметим, что функции
соответствуют обычным прямоугольным волнам. Мы можем перейти к соответствующей одноиндексной системе, упорядочив функции так, чтобы
-ая функция
раз пересекала нулевой уровень на интервале
(т.е.
раз меняла знак). Это достигается при следующих обозначениях:
,
где (рис. 13).
Рис. 13.
Функции Уолша определены на интервале , следовательно, и исходный сигнал
должен быть задан на этом же интервале. Для этого подвергнем его сжатию в
. Новый сигнал будет описываться формулой
(рис. 14).
Рис. 14.
Коэффициенты разложения найдем по формуле
.
.
Графики для различных приведены на рис. 15.
Рис. 15.
Задание на лабораторную работу
1. Применить процедуру Грамма-Шмидта к последовательности функций (см. Таблица 2), определенных на интервале , построить графики.
2. Аппроксимировать заданный в лабораторной работе №1 сигнал (см. Таблица 1) с помощью ортонормальных функций (см. Таблица 2).
3. Найти квадратическое отклонение сигнала от его аппроксимации и максимальную ошибку приближения.
4. Изучить влияние количества членов ряда на качество аппроксимации и сделать выводы о проделанной работе.
Таблица 1.
№ вар. | V1 | V2 | Td | Tr | Tf | Pw | T | № вар. | V1 | V2 | Td | Tr | Tf | Pw | T |
1.5 | 0.6 | 1.8 | 0.5 | ||||||||||||
1.5 | 1.2 | ||||||||||||||
Таблица 2.
№ вар. | Система функций | № вар. | Система функций |
Комплексные гармонические функции | Функции Уолша | ||
Полиномы Лежандра | Комплексные гармонические функции | ||
Полиномы Чебышева | Полиномы Лежандра | ||
Функции Лагерра | Полиномы Чебышева | ||
Функции Лежандра | Функции Лагерра | ||
Функции Чебышева | Функции Лежандра | ||
Функции Эрмита | Функции Эрмита | ||
Функции Уолша | Функции Уолша | ||
Комплексные гармонические функции | Комплексные гармонические функции | ||
Полиномы Лежандра | Полиномы Лежандра | ||
Полиномы Чебышева | Полиномы Чебышева | ||
Функции Лагерра | Функции Лагерра | ||
Функции Лежандра | Функции Лежандра | ||
Функции Эрмита | Функции Эрмита |
Содержание отчета
Отчет по выполненной лабораторной работе должен содержать:
– титульный лист;
– постановку задачи и цели работы;
– заданную последовательность ортонормальных функций;
– результат применения процедуры Грамма-Шмидта к заданной последовательности функций;
– выражение, определяющее исходный импульс, в среде MathCad и его графическое представление;
– формулы, по которым была получена аппроксимация;
– графическое представление аппроксимированного импульса;
– выводы о проделанной работе.