Приклади розв’язування задач
Задача 8. Електрон, початковою швидкістю якого можна знехтувати, пройшов прискорюючу різницю потенціалів U. Знайти довжину хвилі де Бройля l для двох випадків: 1) U = 51 В; 2) U = 510 кВ.
Розв'язання
Довжина хвилі де Бройля l частинки залежить від імпульсу р і визначається формулою:
.
Імпульс частинки можна визначити, якщо відома її кінетична енергія Т. Зв'язок імпульсу з кінетичною енергією для нерелятивістського
(коли Т << Е ) і для релятивістського (коли Т » Е ) випадків виражається відповідно формулами:
(2) і
(3)
Формула (1) з урахуванням співвідношень (2) і (3) запишеться відповідно в нерелятивістському і релятивістському випадках:
; (4)
. (5)
Порівняємо кінетичні енергії електрона, що пройшов задані в умові задачі різниці потенціалів U1 = 51 В і U2 = 510 кВ, з енергією спокою електрона і вирішимо, якою з формул (4) чи (5) слід скористатися для обчислення довжини хвилі де Бройля.
Як відомо, кінетична енергія електрона, що пройшов прискорюючу різницю потенціалів U, дорівнює:
T = |e| U.
В першому випадку Т1 = |e| U1 = 0,51×10–4 МеВ, що значно менше від енергії спокою електрона Е0 = m0c2 = 0,51 MeB. Отже, можна застосовувати формулу (4).
Для спрощення розрахунків зауважимо, що Т1 = 10–4 m0c2. Підставивши цей вираз в формулу (4), перепишемо її у вигляді
.
Врахувавши, що – комптонівська довжина хвилі lС , одержимо:
Оскільки l = 2,43×10–12 м, то = 172 пм.
У другому випадку кінетична енергія Т = |e|U = 510 кеВ = 0,51МеВ, тобто дорівнює енергії спокою електрона. Отже необхідно застосовувати релятивістську формулу (5). Врахувавши, що Т = 0,51 МеВ = m0c2, за формулою (2) знайдемо:
,
або
= 1,4 пм.
Задача 9. Обчислити довжину хвилі де Бройля електрона, що рухається зі швидкістю v = 0,75 c (c – швидкість світла у вакуумі).
Розв'язання
Довжина хвилі де Бройля для частинки визначається формулою:
, (1)
де h – постійна Планка, р – імпульс частинки. При русі частинок зі швидкостями, близькими до швидкості світла у вакуумі, маса частинки залежить від швидкості. Тому у виразі для імпульсу
р = mv , (2)
де m – маса рухомої частинки. Залежність маси від швидкості подається співвідношенням:
, (3)
де m0 – маса спокою частинки, v – швидкість руху електрона, що за умовою задачі рівна 0,75 с. Підставивши в (1) значення р і m з (2) і (3), одержимо:
(4)
За умовою задачі швидкість руху електрона рівна 0,75 с. Підставивши це значення в формулу (4), одержимо:
де – комптонівська довжина хвилі lС, рівна 2,43 нм. Виконавши обчислення, одержимо: l = 2,24 нм.
Задача 10. На вузьку щілину шириною a = 1 мкм спрямовано паралельний пучок електронів, які мають швидкість мv = 3,65 Мм/с. Враховуючи хвильові властивості електронів, визначити відстань x між двома максимумами інтенсивності першого порядку в дифракційній картині, одержаній на екрані, що знаходиться на відстані L = 10 см від щілини.
Розв'язання
Згідно з гіпотезою де Бройля, довжина хвилі l, що відповідає частинці масою m, яка рухається зі швидкістю v, виражається формулою
![]() ![]() ![]()
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
|
(1)
Оскільки дифракція є наслідком хвильової природи частинок, то при розв'язуванні задачі використовуємо (згідно з умовою задачі) умови максимуму на одній щілині.
, (2)
де k = 0,1,2,3,... – порядковий номер максимумів, a – ширина щілини.
Для максимумів першого порядку (k = 1) кут j, звісно, малий, тому sin j = j, і, отже, формула (2) набуде вигляду
, (3)
а шукана величина x, як випливає з малюнка, дорівнює:
x = 2L tgj = 2L j, (4)
Підставивши значення j з (3) в (4), одержимо:
.
З останнього рівняння одержимо чисельне значення x, використавши формулу (1) для довжини хвилі де Бройля:
= 6×10–5 мкм.
Задача 11. На грань кристалу нікелю падає паралельний пучок електронів. Кристал повертають так, що кут ковзання q змінюється. Коли цей кут стає рівним 64°, спостерігається максимальне відбивання електронів, що відповідає дифракційному максимуму першого порядку. Вважаючи відстань d між атомними площинами кристалу рівною 200 пм, визначити довжину хвилі де Бройля l електронів і їх швидкість v.
Розв'язання
До розрахунку дифракції електронів від кристалічної гратки застосовується рівняння Вульфа–Бреггів:
2d sin q = kl,
де d – відстань між атомними площинами кристалу, q – кут ковзання, k – порядковий номер дифракційного максимуму, l – довжина хвилі де Бройля.
Очевидно, що
l = (2d sin q)/k.
Підставивши в цю формулу значення величин, одержимо:
l = 360 пм.
З формули де Бройля ( ) знайдемо швидкість електрона:
величина якої v = 2×106 м/с.
Задача 12. Кінетична енергія Т електрона в атомі водню за порядком величини становить 10 еВ. Використовуючи співвідношення невизначеностей, оцінити мінімальні лінійні розміри атома.
Розв'язання
Невизначеність координати й імпульсу електрона пов'язані співвідношенням:
Dx Dp ³ ħ, (1)
де Dx – невизначеність координати електрона; Dp – невизначеність його імпульсу.
Зі співвідношення випливає, що чим точніше визначається положення частинки в просторі, тим більш невизначеним стає імпульс, а, отже, й енергія частинки. Нехай атом має лінійні розміри l, тоді електрон атома буде знаходитись десь в межах цієї області з невизначеністю Dx = l/2. Співвідношення невизначеностей (1) можна записати в цьому випадку у вигляді (l/2)×Dp ³ ħ, звідки
(2)
Невизначеність імпульсу Dp не повинна перевищувати значення самого імпульсу p, тобто Dp £ p .
Імпульс пов'язаний з кінетичною енергією Т співвідношенням . Замінимо Dр значенням
(така заміна не збільшить l). Переходячи від нерівності (2) до рівності, одержимо:
.
Підставивши числові значення і обчисливши, одержимо:
l = 124 пм.
ФІЗИКА АТОМНОГО ЯДРА
§4. Будова атомного ядра. Радіоактивність.
Основні формули
Ядро позначається тим же символом, що і нейтральний атом: , де Х – символ хімічного елемента, Z – атомний номер (число протонів у ядрі), А – масове число (число нуклонів у ядрі). Число нейтронів N у ядрі дорівнює різниці А–Z.
Закон радіоактивного розпаду:
, (6.12)
де N – число атомів, які не розпались у момент часу t, N0 – число атомів, які не розпались у момент часу, взятий за початковий (при t = 0), е – основа натурального логарифму, l – постійна розпаду. Період напіврозпаду:
. (6.13)
Число атомів, що розпались за час t:
. (6.14)
Середній час життя t радіоактивного ядра:
. (6.15)
Активність А ізотопу в радіоактивному джерелі:
. (6.16)
Активність ізотопу в початковий момент часу:
. (6.17)
Методичні вказівки
При розв'язуванні задач на закон радіоактивного розпаду ізольованої речовини слід розрізняти два випадки:
1) з умови задачі очевидно, що час розпаду сумірний з періодом напіврозпаду ізотопу. В цьому випадку слід користуватись співвідношенням закону в формі (6.12) (інтегральній);
2) з умови задачі випливає, що час розпаду Dt набагато менший ніж період напіврозпаду T даного радіоізотопу (Dt << T), тоді кількість ядер N, що не розпалися, можна вважати практично постійною протягом всього часу Dt і рівною їх початковій кількості N0 . Кількість ядер DN, що розпалися, можна визначати за формулою
. (6.18)
В деяких задачах вимагається знайти число атомів N, що містяться в даній масі m певного радіоізотопу Х. Для цього користуються співвідношенням
, (6.19)
де NА – постійна Авогадро, n – число молів, які містяться в даному препараті, m – молярна маса ізотопу.
Нагадаємо, що між молярною масою m ізотопу і його відносною атомною масою Мr існує співвідношення:
m = 10–3 Мr кг/моль.
Слід мати на увазі, що для будь-якого ізотопу величина Мr є числом близьким до його масового числа А, тобто
m = 10–3 A кг/моль.