Плотность тока j — это векторная физическая величина, модуль которой определяется отношением силы тока I в проводнике к площади S поперечного сечения проводника, т.е.
В СИ единицей плотности тока является ампер на квадратный метр (А/м2).
Как следует из формулы (1), 
. Направление вектора плотности тока 
совпадает с направлением вектора скорости упорядоченного движения 
положительно заряженных частиц. Плотность постоянного тока постоянна по всему поперечному сечению проводника.
Закон Ома в интегральной форме имеет вид: 
Закон Ома в дифференциальной форме
Сопротивление R зависит как от материала, по которому течёт ток, так и от геометрических размеров проводника.
Полезно переписать закон Ома в так называемой дифференциальной форме, в которой зависимость от геометрических размеров исчезает, и тогда закон Ома описывает исключительно электропроводящие свойства материала. Для изотропных материалов имеем: 
где: j — вектор плотности тока, 
— удельная проводимость,
E— вектор напряжённости электрического поля.
При рассмотрении движения зарядов, помимо закона сохранения энергии, необходимо учитывать и закон сохранения электрического заряда. В интегральной форме этот закон можно записать в следующем виде:
где ρ - плотность заряда. Из этого уравнения следует, что, если объем электронейтрален, то сколько в него втекает зарядов одного знака, столько же и вытекает. С другой стороны , если ток через замкнутую поверхность равен нулю, то заряды внутри этой поверхности могут рождаться и исчезать только парами (положительных зарядов должно родиться или исчезнуть ровно столько, сколько родилось или исчезло положительных зарядов.
Используя теорему Остроградского-Гаусса, уравнение можно переписать в виде:
откуда в дифференциальной форме получим уравнение, которое принято называть уравнением непрерывности:
Вопрос 19.
При прохождении электрического тока через металлический проводник электроны сталкиваются то с нейтральными молекулами, то с молекулами, потерявшими электроны.
Движущийся электрон либо отщепляет от нейтральной молекулы новый электрон, теряя свою кинетическую энергию и образуя новый положительный ион, либо соединяется с молекулой, потерявшей электрон (с положительным ионом), образуя нейтральную молекулу.
При столкновении электронов с молекулами расходуется энергия, которая превращается в тепло.
Любое движение, при котором преодолевается сопротивление, требует эатраты определенной энергии.
Так, например, для перемещения какого -либо тела преодолевается сопротивление трения, и работа, затраченная на это, превращается в тепло.
Электрическое сопротивление проводника играет ту же роль, что и сопротивление трения.
Таким образом, для проведения тока через проводник источник тока затрачивает некоторую энергию, которая превращается в тепло.
Переход электрической энергии в тепловую отражает закон Ленца — Джоуля
или закон теплового действия тока.
Русский ученый Ленц и английский физик Джоуль одновременно и независимо один от другого установили, что
При прохождении электрического тока по проводнику количество теплоты, выделяемое в проводнике, прямо пропорционально квадрату тока, сопротивлению проводника и времени, в течение которого электрический ток протекал по проводнику.
Это положение называется законом Ленца - Джоуля.
Если обозначить количество теплоты, создаваемое током, буквойQ (Дж), ток, протекающий по проводнику - I, сопротивление проводника -Rи время, в течение которого ток протекал по проводнику -t, то закону Ленца - Джоуля можно придать следующее выражение:
Q = I2Rt.
Так какI = U/Rи R = U/I, тоQ = (U2/R) t = UIt.
Закон ВИДЕМАНА - ФРАНЦА -соотношение, связывающее электронныетеплопроводность c и электропроводность s твёрдых тел. Экспериментально установлен Г. Видеманом (G. Wiedemann) и P. Францем (R. Franz) в 1853 применительно к металлам в виде соотношения 
=С, где С - постоянная, одинаковая для всех металлов при данной темп-ре. В 1882 Л. Лоренц (L. Lorentz) нашёл, что C=LT, где T - абс. темп-pa, L - универсальная постоянная, наз. числом Лоренца.
Впервые В.- Ф. з. получил объяснение в Друде теории металлов. Постоянство отношения 
связано с тем, что в металлах тепловой поток переносится гл. обр. электронами, причём в электронную теплопроводность 
и в s входят одинаковым образом одни и те же параметры - время свободного пробега, масса и концентрация свободных электронов. Число Лоренца в теории Друде совпадало с эксперим. значением, однако, как выяснилось впоследствии, это совпадение по существу было случайным: принципиальные ошибки, допущенные при вычислении уд. теплоёмкости и ср. скорости электронов, связанные с применением классич. статистики (см. Болъцмана распределение)к электронам в металлах, взаимно компенсировались; кроме того, была допущена численная ошибка при вычислении электропроводности.
Истинное количественное обоснование В.- ф. з. получил в Зоммерфелъда теории металлов, в к-рой рассеяние электронов предполагалось изотропным. Согласно этой теории, 
=2,45*10-8 Вт*Ом*K-2 (е - заряд электрона).
Из совр. теории металлов, основанной на зонной теории твёрдого тела, следует, что В--Ф. з. справедлив и в случае анизотропного рассеяния при условии, что рассеяние электронов носит упругий характер, т. е. изменение энергии электрона при рассеянии мало по сравнению с величиной его энергии. При неупругом рассеянии В.- Ф. з. нарушается. В.- Ф. з. экспериментально подтверждается для большинства металлов при комнатной темп-ре, но имеются исключения (Be, Mn), природа к-рых пока не имеет однозначного истолкования.
В.- Ф. з. применим также к полупроводникам. Число Лоренца в этом случае зависит от механизма рассеяния носителей заряда. При упругом рассеянии
Здесь r - показатель степени в (степенной) зависимости времени свободного пробега носителей от их энергии, напр. для рассеяния на акустич. фононах r=-1/2, для рассеяния на ионизованных примесях r=3/2 (см. Брукса - Херринга формула). При неупругом рассеянии носителей (в частности, при рассеянии на оптич. фононах в области низких темп-р), а также при произвольной степени вырождения носителей (см. Вырожденный полупроводник)В.- Ф. з. нарушается в том смысле, что L сложным образом зависит от темп-ры.
Электродвижущая сила (ЭДС) источника тока равна работе, которую совершают сторонние силы по перемещению единичного положительного электрического заряда вдоль всей цепи.
E=Act\q
q - переносимый заряд
Аст - работа сторонних сил