Автокорреляция остатков ВР 1 страница
Особенностью ВР является то, что остатки ( 
) не всегда являются независимыми, т. е. условие 
= 0, i ≠ j, не выполняется, что постулируется для регрессионных моделей.
Такие модели называются моделями с наличием автокорреляции остатков.
Одной из причин автокорреляции ошибок является наличие «скрытых» регрессоров, влияние которых проявляется через случайную величину .
Выявление этих составляющих иногда позволяет получить модель без автокорреляции остатков ряда.
Другой причиной может быть влияние на результативный признак величин 
.
Возможным приемом устранения автокорреляции остатков является подбор и построение моделей или (4) или (5) или их комбинацию или другие модели.
Замечание. Проверить наличие автокорреляции остатков можно традиционным способом, а также с помощью известных критериев (тестов). Одним из них является тест Дарбина-Уотсона.
Согласно теста находят величину
d = 
,
где n – объем выборки.
Если:
а) dB < d < 4-dB, гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается;
б) dH < d < dB или 4-dB < d < 4-dH определенного ответа тест не дает (область неопределенности теста);
в) 0 < d < dH, принимается гипотеза о наличии положительной автокорреляции;
г) 4-dH < d < 4, принимается гипотеза об отрицательной автокорреляции.
Границы dH и dB при уровне значимости d = 0,05 показаны в прил. 1.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. В чем существенное отличие модели ВР от регрессионной модели?
2. Принцип выбора модели ВР.
3. Суть процедуры сглаживания ВР.
4. Суть коэффициента корреляции между уровнями ВР.
5. Причины автокорреляции остатков ВР.
6. Способы выявления автокорреляции остатков.
7. Отличие стационарных и динамических ВР.
8. Принципы выбора моделей тренда.
ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
Пример 1
Пусть известны объемы потребления продукта А ( 
) за 15 недель осенне-зимнего периода по району Ц города Х.
Таблица 1
| t | |||||||||||||||
|
| 3,38 | 3,53 | 3,7 | 3,8 | 3,78 | 3,84 | 3,76 | 3,9 | 4,15 | 4,28 | 4,4 | 4,54 | 4,78 | 4,84 | 4,88 |
Задание: используя значения, полученные в табл. 2, выявить структуру ряда, выбрать модель и оценить ее.
Таблица 2
| t | Yt | Yt | Yt+1 | YtYt+1 | 
| 
| t² |
| 3,380 | 3,380 | 3,530 | 11,931 | 11,424 | 12,461 | ||
| 3,530 | 3,530 | 3,700 | 13,061 | 12,461 | 13,690 | ||
| 3,700 | 3,700 | 3,800 | 14,060 | 13,690 | 14,440 | ||
| 3,800 | 3,800 | 3,780 | 14,364 | 14,440 | 14,288 | ||
| 3,780 | 3,780 | 3,840 | 14,515 | 14,288 | 14,746 | ||
| 3,840 | 3,840 | 3,760 | 14,438 | 14,746 | 14,138 | ||
| 3,760 | 3,760 | 3,900 | 14,664 | 14,138 | 15,210 | ||
| 3,900 | 3,900 | 4,150 | 16,185 | 15,210 | 17,223 | ||
| 4,150 | 4,150 | 4,280 | 17,762 | 17,223 | 18,318 | ||
| 4,280 | 4,280 | 4,400 | 18,832 | 18,318 | 19,360 | ||
| 4,400 | 4,400 | 4,540 | 19,976 | 19,360 | 20,612 | ||
| 4,540 | 4,540 | 4,780 | 21,701 | 20,612 | 22,848 | ||
| 4,780 | 4,780 | 4,840 | 23,135 | 22,848 | 23,426 | ||
| 4,840 | 4,840 | 4,880 | 23,619 | 23,426 | 23,814 | ||
| 4,880 | — | — | — | — | — | ||
| å | 61,560 | 56,680 | 58,180 | 238,245 | 232,183 | 244,573 | |
| å/n | 4,104 | 82,667 |
Продолжение табл.2
| t | Yt | Yt+2 | YtYt+2 |
| 
| tYt |
|
| 3,380 | 3,700 | 12,506 | 11,424 | 13,690 | 3,380 | 11,424 | |
| 3,530 | 3,800 | 13,414 | 12,461 | 14,440 | 7,060 | 12,461 | |
| 3,700 | 3,780 | 13,986 | 13,690 | 14,288 | 11,100 | 13,690 | |
| 3,800 | 3,840 | 14,592 | 14,440 | 14,746 | 15,200 | 14,440 | |
| 3,780 | 3,760 | 14,213 | 14,288 | 14,138 | 18,900 | 14,288 | |
| 3,840 | 3,900 | 14,976 | 14,746 | 15,210 | 23,040 | 14,746 | |
| 3,760 | 4,150 | 15,604 | 14,138 | 17,223 | 26,320 | 14,138 | |
| 3,900 | 4,280 | 16,692 | 15,210 | 18,318 | 31,200 | 15,210 | |
| 4,150 | 4,400 | 18,260 | 17,223 | 19,360 | 37,350 | 17,223 | |
| 4,280 | 4,540 | 19,431 | 18,318 | 20,612 | 42,800 | 18,318 | |
| 4,400 | 4,780 | 21,032 | 19,360 | 22,848 | 48,400 | 19,360 | |
| 4,540 | 4,840 | 21,974 | 20,612 | 23,426 | 54,480 | 20,612 | |
| 4,780 | 4,880 | 23,326 | 22,848 | 23,814 | 62,140 | 22,848 | |
| — | — | — | — | — | 67,760 | 23,426 | |
| — | — | — | — | — | 73,200 | 23,814 | |
| å | 51,840 | 54,650 | 220,006 | 208,758 | 232,113 | 522,330 | 255,998 |
| å/n | 34,822 | 17,067 |
Продолжение табл.2
| t | Yt | Yt+3 | YtYt+3 |
| 
| t | Ŷ |
|
| 3,380 | 3,800 | 12,844 | 11,424 | 14,440 | 3,355 | 0,025 | ||
| 3,530 | 3,780 | 13,343 | 12,461 | 14,288 | 3,462 | 0,068 | ||
| 3,700 | 3,840 | 14,208 | 13,690 | 14,746 | 3,569 | 0,131 | ||
| 3,800 | 3,760 | 14,288 | 14,440 | 14,138 | 3,676 | 0,124 | ||
| 3,780 | 3,900 | 14,742 | 14,288 | 15,210 | 3,783 | -0,003 | ||
| 3,840 | 4,150 | 15,936 | 14,746 | 17,223 | 3,890 | -0,050 | ||
| 3,760 | 4,280 | 16,093 | 14,138 | 18,318 | 3,997 | -0,237 | ||
| 3,900 | 4,400 | 17,160 | 15,210 | 19,360 | 4,104 | -0,204 | ||
| 4,150 | 4,540 | 18,841 | 17,223 | 20,612 | 4,211 | -0,061 | ||
| 4,280 | 4,780 | 20,458 | 18,318 | 22,848 | 4,318 | -0,038 | ||
| 4,400 | 4,840 | 21,296 | 19,360 | 23,426 | 4,425 | -0,025 | ||
| 4,540 | 4,880 | 22,155 | 20,612 | 23,814 | 4,532 | 0,008 | ||
| — | — | — | — | — | 4,639 | 0,141 | ||
| — | — | — | — | — | 4,746 | 0,094 | ||
| — | — | — | — | — | 4,853 | 0,027 | ||
| å | 47,060 | 50,950 | 201,365 | 185,909 | 218,423 | 120,000 | 0,000 | |
| å/n | 8,000 | 0,000 |
Окончание табл.2
| t | 
| 
| ( - )2
| 
|
| − | − | − | 0,001 | |
| 0,068 | 0,025 | 0,002 | 0,005 | |
| 0,131 | 0,068 | 0,004 | 0,017 | |
| 0,124 | 0,131 | 0,000 | 0,015 | |
| -0,003 | 0,124 | 0,016 | 0,000 | |
| -0,050 | -0,003 | 0,002 | 0,003 | |
| -0,237 | -0,050 | 0,035 | 0,056 | |
| -0,204 | -0,237 | 0,001 | 0,042 | |
| -0,061 | -0,204 | 0,020 | 0,004 | |
| -0,038 | -0,061 | 0,001 | 0,001 | |
| -0,025 | -0,038 | 0,000 | 0,001 | |
| 0,008 | -0,025 | 0,001 | 0,000 | |
| 0,141 | 0,008 | 0,018 | 0,020 | |
| 0,094 | 0,141 | 0,002 | 0,009 | |
| 0,027 | 0,094 | 0,004 | 0,001 | |
| å | 0,107 | 0,173 |
Решение.
Рассчитаем коэффициенты автокорреляции первого, второго, третьего порядков, используя формулу (3).
Значения для расчетов берем из табл. 2.
r(t = 1) = 
;
r(t = 1) = 
= 0,981;
r(t = 2) = 
;
r(t = 2) = 
= 0,899;
r(t = 3) = 
;
r(t = 3) = 
= 0,923.
Анализ коэффициентов позволяет выдвинуть гипотезу о наличии во ВР сильной линейной тенденции.
Структура тренда линейная и
Тt = a + bt + ,
где b = 
= 
= 0,107,
а = 
-b 
=4,104-0,107 = 3,248,
Tt = 3,248 + 0,107t + или
Yt = 3,248 + 0,107t + или
Ŷt = 3,248 + 0,107t.
Оценим модель тренда
= 
= 
= 0,974.
Fрасч.= 
= 
×13 = 241,9
Fкрит.(α = 0,05; 
1 = 1; 2 = 13) = 4,67 (см. прил. 2)
Fрасч. > Fкрит.
d = 
= 
= 0,618.
dH(n = 15, p = 1) = 1,08; dB(n = 15, p = 1) = 1,36 (см. прил. 1).
Полученные оценки позволяют сделать вывод, что ВР об объемах потребления продукта А содержит линейную тенденцию, но так как
0 < d < dH,
то согласно теста Дарбина-Уотсона делаем вывод о наличии автокорреляции остатков ряда ( ).
Следовательно, полученную модель нельзя считать адекватной, причина может быть в скрытых регрессорах.
Пример 2
Пусть имеются данные об денежных объемах продаж (Yt) автомобилей марки W за 22 временных периода.
Таблица 3
| t | |||||||||||
| Yt | 9,71 | 11,66 | 10,44 | 9,07 | 9,57 | 7,27 | 7,52 | 10,19 | 9,72 | 8,15 | 8,23 |
Окончание табл. 3
| t | |||||||||||
| Yt | 11,12 | 13,86 | 14,28 | 13,64 | 12,41 | 11,45 | 13,51 | 13,25 | 12,26 | 11,89 | 12,13 |
Задание: используя значения, полученные в табл. 4, обосновать выбор структуры ВР, дать прогноз объемов продаж автомобилей на следующий временной период.
Таблица 4
| t | Yt | Yt-1 | YtYt-1 | 
|
| YtYt-1 | t² | Yt |
| 9,7100 | | | | | − | − | − | |
| 11,6600 | 9,7100 | 113,2186 | 94,2841 | 135,9556 | 113,2186 | 11,6600 | ||
| 10,4400 | 11,6600 | 121,7304 | 135,9556 | 108,9936 | 121,7304 | 10,4400 | ||
| 9,0700 | 10,4400 | 94,6908 | 108,9936 | 82,2649 | 94,6908 | 9,0700 | ||
| 9,5700 | 9,0700 | 86,7999 | 82,2649 | 91,5849 | 86,7999 | 9,5700 | ||
| 7,2700 | 9,5700 | 69,5739 | 91,5849 | 52,8529 | 69,5739 | 7,2700 | ||
| 7,5200 | 7,2700 | 54,6704 | 52,8529 | 56,5504 | 54,6704 | 7,5200 | ||
| 10,1900 | 7,5200 | 76,6288 | 56,5504 | 103,8361 | 76,6288 | 10,1900 | ||
| 9,7200 | 10,1900 | 99,0468 | 103,8361 | 94,4784 | 99,0468 | 9,7200 | ||
| 8,1500 | 9,7200 | 79,2180 | 94,4784 | 66,4225 | 79,2180 | 8,1500 | ||
| 8,2300 | 8,1500 | 67,0745 | 66,4225 | 67,7329 | 67,0745 | 8,2300 | ||
| 11,1200 | 8,2300 | 91,5176 | 67,7329 | 123,6544 | 91,5176 | 11,1200 | ||
| 13,8600 | 11,1200 | 154,1232 | 123,6544 | 192,0996 | 154,1232 | 13,8600 | ||
| 14,2800 | 13,8600 | 197,9208 | 192,0996 | 203,9184 | 197,9208 | 14,2800 |
Продолжение табл. 4
| t | Yt | Yt-1 | YtYt-1 |
|
| YtYt-1 | t² | Yt |
| 13,6400 | 14,2800 | 194,7792 | 203,9184 | 186,0496 | 194,7792 | 13,6400 | ||
| 12,4100 | 13,6400 | 169,2724 | 186,0496 | 154,0081 | 169,2724 | 12,4100 | ||
| 11,4500 | 12,4100 | 142,0945 | 154,0081 | 131,1025 | 142,0945 | 11,4500 | ||
| 13,5100 | 11,4500 | 154,6895 | 131,1025 | 182,5201 | 154,6895 | 13,5100 | ||
| 13,2500 | 13,5100 | 179,0075 | 182,5201 | 175,5625 | 179,0075 | 13,2500 | ||
| 12,2600 | 13,2500 | 162,4450 | 175,5625 | 150,3076 | 162,4450 | 12,2600 | ||
| 11,8900 | 12,2600 | 145,7714 | 150,3076 | 141,3721 | 145,7714 | 11,8900 | ||
| 12,1300 | 11,8900 | 144,2257 | 141,3721 | 147,1369 | 144,2257 | 12,1300 | ||
| å | 231,6200 | 229,2000 | 2598,4989 | 2595,5512 | 2648,4040 | 2598,4989 | 231,6200 | |
| å/n | 10,5282 | 10,9143 | 123,7380 | 123,5977 | 126,1145 | 123,7380 | 172,4545 | 11,0295 |
Окончание табл.4
| t | Ŷ | Y-Ŷ | 
|
|
| ( - )2
| |
| − | − | − | − | − | − | ||
| 10,1262 | 1,5338 | 2,3526 | − | − | − | ||
| 11,5895 | -1,1495 | 1,3213 | 1,5338 | -1,1495 | 7,2000 | ||
| 10,6740 | -1,6040 | 2,5727 | -1,1495 | -1,6040 | 0,2066 | ||
| 9,6459 | -0,0759 | 0,0058 | -1,6040 | -0,0759 | 2,3349 | ||
| 10,0211 | -2,7511 | 7,5687 | -0,0759 | -2,7511 | 7,1567 | ||
| 8,2952 | -0,7752 | 0,6009 | -2,7511 | -0,7752 | 3,9043 | ||
| 8,4828 | 1,7072 | 2,9145 | -0,7752 | 1,7072 | 6,1623 | ||
| 10,4864 | -0,7664 | 0,5873 | 1,7072 | -0,7664 | 6,1185 | ||
| 10,1337 | -1,9837 | 3,9350 | -0,7664 | -1,9837 | 1,4818 | ||
| 8,9556 | -0,7256 | 0,5264 | -1,9837 | -0,7256 | 1,5829 | ||
| 9,0156 | 2,1044 | 4,4285 | -0,7256 | 2,1044 | 8,0087 | ||
| 11,1842 | 2,6758 | 7,1596 | 2,1044 | 2,6758 | 0,3264 | ||
| 13,2403 | 1,0397 | 1,0809 | 2,6758 | 1,0397 | 2,6768 | ||
| 13,5555 | 0,0845 | 0,0071 | 1,0397 | 0,0845 | 0,9123 | ||
| 13,0753 | -0,6653 | 0,4426 | 0,0845 | -0,6653 | 0,5621 | ||
| 12,1523 | -0,7023 | 0,4932 | -0,6653 | -0,7023 | 0,0014 | ||
| 11,4319 | 2,0781 | 4,3186 | -0,7023 | 2,0781 | 7,7305 | ||
| 12,9777 | 0,2723 | 0,0741 | 2,0781 | 0,2723 | 3,2610 | ||
| 12,7826 | -0,5226 | 0,2731 | 0,2723 | -0,5226 | 0,6319 | ||
| 12,0397 | -0,1497 | 0,0224 | -0,5226 | -0,1497 | 0,1391 | ||
| 11,7621 | 0,3679 | 0,1354 | -0,1497 | 0,3679 | 0,2680 | ||
| å | -0,0075 | 40,8209 | 60,6662 | ||||
| å/n | 11,5000 | -0,0004 |